matlab牛顿法求解非线性方程组

使用牛顿法求解非线性方程组需要以下步骤：

1. 定义非线性方程组的函数

假设要求解的非线性方程组为 $F(x) = 0$，其中 $x$ 是变量向量，$F(x)$ 是非线性函数向量。我们需要将 $F(x)$ 定义为一个 MATLAB 函数，输入参数为变量向量 $x$，输出为函数向量 $F(x)$。

2. 计算 Jacobian 矩阵

Jacobian 矩阵 $J(x)$ 是 $F(x)$ 对 $x$ 的偏导数矩阵，可以用 MATLAB 的 symbolic 工具箱计算，也可以手动计算。计算 Jacobian 矩阵的代码示例如下：

syms x1 x2
F = [x1^2 + x2^2 - 1; x1^2 - x2];
J = jacobian(F, [x1, x2]);

3. 初始化变量向量 $x_0$

牛顿法需要一个初始的变量向量 $x_0$，通常可以随机初始化或者根据问题的特点进行初始化。

4. 迭代计算

根据牛顿法的公式，迭代计算 $x_{k+1}$ 的值：

$x_{k+1} = x_k - J(x_k)^{-1} F(x_k)$

其中 $J(x_k)^{-1}$ 表示 Jacobian 矩阵的逆矩阵。迭代计算的代码示例如下：

x0 = [1; 1];  % 初始化变量向量
tol = 1e-6;  % 容差
max_iter = 1000;  % 最大迭代次数
k = 0;
x = x0;
while k < max_iter
    k = k + 1;
    Fk = F(x);
    Jk = double(subs(J, [x1, x2], [x(1), x(2)]));
    x_new = x - Jk\Fk;
    if norm(x_new - x) < tol
        break;
    end
    x = x_new;
end

5. 输出结果

迭代完成后，输出最终的变量向量 $x$ 即为非线性方程组的解。

上述代码示例中，`subs` 函数用于将变量向量 $x$ 的值代入 Jacobian 矩阵中，`norm` 函数用于计算向量的 2 范数，用来判断迭代是否达到容差要求。