利用python对加权图的连通划分 混合整数线性规划模型 groubi 例子

首先，我们需要定义加权图及其相关参数。假设我们有一个加权图$G=(V,E)$，其中$V$表示节点集合，$E$表示边集合。每条边$e\in E$都有一个权重$w_e$，我们需要将图$G$划分成$k$个连通分量。假设$C=\{C_1,C_2,\dots,C_k\}$是我们要得到的连通分量集合，其中$C_i$表示第$i$个连通分量。

接下来，我们需要定义一些变量和限制条件来表示这个问题。我们用一个01变量$x_{ij}$表示节点$i$是否属于连通分量$C_j$，即：

$$
x_{ij}=\begin{cases}
1 & \text{if } i\in C_j\\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
$$

我们还需要定义一个实数变量$y_j$表示连通分量$C_j$的权重，即：

$$
y_j=\sum_{i\in V}x_{ij}w_i
$$

为了保证$G$被划分成$k$个连通分量，我们需要添加如下限制条件：

$$
\sum_{j=1}^kx_{ij}=1,\forall i\in V
$$

这个限制条件保证每个节点都属于且仅属于一个连通分量。

接下来，我们需要添加一些限制条件来保证$C$是一个合法的连通分量集合。具体来说，我们需要保证每个连通分量至少包含一个节点，并且每个连通分量间至少有一条边。这可以通过以下限制条件来实现：

$$
\sum_{i\in C_j}x_{ij}\geqslant 1,\forall j\in\{1,2,\dots,k\}
$$

这个限制条件保证了每个连通分量至少包含一个节点。

$$
\sum_{i\in C_j}\sum_{l\in V}x_{li}+\sum_{i\in C_j}\sum_{l\in V}x_{il} - \sum_{e=(i,j)\in E}x_{ij}\geqslant 1,\forall j\in\{1,2,\dots,k\}
$$

这个限制条件保证了每个连通分量间至少有一条边。

最后，我们需要添加一个目标函数，这个函数将最小化所有连通分量的权重之和，即：

$$
\text{minimize }\sum_{j=1}^ky_j
$$

现在我们可以使用Gurobi来求解这个问题。我们需要安装Gurobi并在Python中调用Gurobi API。

以下是实现代码：