证明对任意m*n的矩阵A,A^TA和AA^T的非零特征值相同

首先，我们可以证明 A^TA 和 AA^T 是对称矩阵。

对于 A^TA，有 (A^TA)^T = A^T(A^T)^T = A^TA，因此 A^TA 是对称矩阵。

对于 AA^T，有 (AA^T)^T = (A^T)^TA^T = AA^T，因此 AA^T 是对称矩阵。

接下来，我们可以证明 A^TA 和 AA^T 有相同的非零特征值。

对于任意非零向量 x，我们有：

(A^TA)x = λx

将 x 乘以 A 得到：

AA^T(Ax) = λ(Ax)

因此，Ax 是 AA^T 的特征向量，并且对应的特征值也是 λ。

同理，将 x 乘以 A^T 得到：

A^TA(A^Tx) = λ(A^Tx)

因此，A^Tx 是 A^TA 的特征向量，并且对应的特征值也是 λ。

因此，A^TA 和 AA^T 有相同的非零特征值。

相关问题

证明对任意m*n的矩阵A,A的转置A和AA的转置的非零特征值相同

首先，我们知道矩阵A和A的转置A^T有相同的特征值，因为它们具有相同的特征多项式。

接下来，我们需要证明AA的转置和A的转置A^T具有相同的非零特征值。

设λ为AA的转置的一个非零特征值，v为对应的特征向量，则有：

(AA^T)v = λv

两边同时左乘v^T，得到：

v^T(AA^T)v = λv^Tv

因为v是一个非零向量，所以v^Tv是一个正数，而v^T(AA^T)v = (Av)^T(Av) = ||Av||^2

因此，我们可以将上面的等式重写为：

||Av||^2 = λv^Tv

这表明，对于矩阵A，它的转置A^T的特征值也是AA^T的特征值。

因此，我们证明了对于任意m*n的矩阵A，A的转置A^T和AA的转置具有相同的非零特征值。

用matlab编写获取任意m*n矩阵的对角线和反对角线的元素

您可以使用MATLAB的diag函数来获取矩阵的对角线元素，而使用flip函数和diag函数来获取矩阵的反对角线元素。下面是一个示例代码：

假设您有一个m * n的矩阵A：

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12];

要获取矩阵A的主对角线元素，可以使用以下代码：

diagValues = diag(A);

这将返回一个向量，其中包含了矩阵A的主对角线元素：

diagValues =

1
5
9

要获取矩阵A的副对角线元素，可以使用以下代码：

flipA = flip(A);
antiDiagValues = diag(flipA);

首先使用flip函数翻转矩阵A，然后使用diag函数获取翻转后的矩阵的主对角线元素，即为矩阵A的副对角线元素。这将返回一个向量，其中包含了矩阵A的副对角线元素：

antiDiagValues =

3
5
7

请注意，如果矩阵A不是方阵，则其副对角线元素的数量可能会与主对角线元素的数量不同。