已知代价敏感矩阵和模型softmax之前的输出，怎么求代价敏感损失

代价敏感损失是一种针对多分类问题的损失函数，它允许我们为不同的类别赋予不同的代价。假设有 $K$ 个类别，$y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签，$f_i$ 表示第 $i$ 个样本的模型输出（softmax之前），$C$ 是一个 $K \times K$ 的代价矩阵，其中 $C_{ij}$ 表示将第 $i$ 类分成第 $j$ 类时所需要的代价。

代价敏感损失可以定义为：

$$
\mathcal{L} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{K} C_{y_i, j} \cdot \log \left(\frac{\exp(f_{ij})}{\sum_{k=1}^{K} \exp(f_{ik})}\right)
$$

其中 $f_{ij}$ 表示模型对第 $i$ 个样本预测为第 $j$ 类的得分，$\sum_{k=1}^{K} \exp(f_{ik})$ 表示所有类别的预测得分之和。

你已知代价敏感矩阵和模型softmax之前的输出，那么你需要先将模型输出通过softmax函数转换为概率分布，然后按上述公式计算代价敏感损失。具体地，对于第 $i$ 个样本，我们可以先计算其 softmax 之后的概率分布 $p_i$：

$$
p_{ij} = \frac{\exp(f_{ij})}{\sum_{k=1}^{K} \exp(f_{ik})}
$$

然后代入代价敏感损失公式即可：

$$
\mathcal{L} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{K} C_{y_i, j} \cdot \log(p_{ij})
$$

其中 $y_i$ 表示第 $i$ 个样本的真实标签。