Give five examples of analytic extension
时间: 2023-03-23 09:03:43 浏览: 147
好的,以下是五个解析延拓的例子:
1. 对于复平面上的单位圆 $S^1 = \{z\in\mathbb{C}: |z|=1\}$,定义函数 $f(z) = \frac{1}{1-z}$,则该函数在单位圆内有定义,且在圆上连续。可以使用柯西积分公式将其解析延拓到整个复平面上,得到函数 $F(z) = \frac{1}{1-z}$,其中 $z\neq 1$。这个例子是解析延拓中的经典案例。
2. 定义函数 $f(z) = \sqrt{z}$,则该函数在 $z=0$ 处不解析,因为在 $z=0$ 的不同方向上取极限得到的结果不同。但是,我们可以通过在 $z=0$ 处取一个极点并定义一条割线来使其解析延拓。例如,我们可以定义割线 $\gamma$ 为从原点出发的实轴正半轴,然后将 $\sqrt{z}$ 沿 $\gamma$ 切开,从而将其延拓为沿割线的两个分支 $f_+(z)$ 和 $f_-(z)$,分别满足 $f_+(0) = 0$ 和 $f_-(0) = 0$。
3. 定义函数 $f(z) = \frac{\sin(z)}{z}$,则该函数在 $z=0$ 处有一个可去奇点。我们可以通过将 $f(z)$ 定义为在 $z=0$ 处的极限值来将其解析延拓到整个复平面上,即 $f(z) = \lim_{w\to 0}\frac{\sin(zw)}{zw}$。
4. 定义函数 $f(z) = e^{1/z}$,则该函数在 $z=0$ 处有一个本质奇点。我们可以将其解析延拓到复平面上除了原点外的所有点,定义 $F(z) = e^{1/z}$,其中 $z\neq 0$。
5. 定义函数 $f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^n$,则该函数在 $|z| < 1$ 内解析,在 $|z| \geq 1$ 外不解析。但是,我们可以将其解析延拓到整个复平面上,得到 $F(z) = \frac{1}{1-z}$,其中 $z\neq 1$。这个例子与第一个例子非常相似,但是它的解析延拓方式略有不同。