基于蒙特卡罗思想用 MPI 程序实现对圆周率值的并行求解。

基于蒙特卡洛方法估算圆周率（π）的一个常见做法是利用随机点落在单位圆内的概率。这个方法可以在分布式系统，比如使用MPI（Message Passing Interface）进行并行计算时得到加速。以下是简单的步骤：

1. **生成随机点**：在并行环境下，每个处理器负责生成一定数量的随机坐标（x, y），通常范围在[-1, 1]之间。

2. **检查是否在圆内**：计算每个点到原点的距离（r = sqrt(x^2 + y^2)）。如果距离小于1，则该点位于单位圆内。

3. **计数**：每找到一个点在圆内，增加一个计数器。

4. **比例估计**：用圆内点的数量除以总的点数，然后乘以4，因为每个落在圆内的点代表的是四个同样大小的单位正方形区域里的点。

5. **收敛和平均**：由于随机性，结果会有波动，因此多次运行并取平均可以得到更精确的结果。

6. **MPI通信**：为了获得最终的π值，各个进程需要将它们的结果汇总到主节点上。MPI允许快速高效的通信，使得整个过程并行化。

#include <mpi.h>
#include <random>
#include <cmath>

double estimatePi(int n, int* inside) {
    double pi = 0;
    std::mt19937 generator(std::random_device{}()); // Mersenne Twister random number generator
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double x = generator() % 2 - 1;
        double y = generator() % 2 - 1;
        if (x*x + y*y <= 1) {
            *inside += 1;
        }
        pi = 4 * (*inside / static_cast<double>(n));
    }
    return pi;
}

int main(int argc, char** argv) {
    MPI_Init(&argc, &argv);
    int rank, size;
    MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &size);

    int n_points_per_rank = ...; // 根据任务划分确定每个进程应生成的随机点数量
    int total_points = n_points_per_rank * size;
    int inside[size]; // 每个进程中存放圆内点计数

    double local_pi = estimatePi(n_points_per_rank, &inside[rank]);
    double global_pi;

    // Gather all results from all ranks
    MPI_Reduce(local_pi, &global_pi, 1, MPI_DOUBLE, MPI_SUM, 0, MPI_COMM_WORLD);

    if (rank == 0) {
        // Main process prints the result
        printf("Estimated Pi with %d points and parallelization: %.15f\n", total_points, global_pi);
    }

    MPI_Finalize();
    return 0;
}