什么是损失函数？线性回归如何根据损失函数求最佳拟合？

损失函数是机器学习和优化中一个核心的概念，它是模型预测值与实际标签之间差异的度量。在训练过程中，我们试图最小化这个函数，以便使模型的预测尽可能接近真实数据。常见的损失函数有均方误差（Mean Squared Error, MSE）用于回归问题，交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）用于分类任务。

对于线性回归，假设我们有一个输入特征向量`x`和对应的输出变量`y`，模型通常表示为`y = wx + b`，其中`w`是权重参数，`b`是偏置。线性回归的目标是找到一组最优的参数`w`和`b`，使得预测值与实际值之间的差平方和最小。具体过程如下：

1. **定义损失函数**：使用均方误差（MSE），它计算每个预测值与真实值的差的平方然后求平均：
\[ L(w, b) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - (wx_i + b))^2 \]

2. **梯度下降优化**：使用梯度下降算法来迭代调整`w`和`b`，每次迭代通过计算损失函数关于参数的梯度（即偏导数）来确定更新的方向和步长。目标是最小化损失，所以梯度方向指向负梯度。
\[ w_{new} = w_{old} - \alpha \frac{\partial L}{\partial w} \]
\[ b_{new} = b_{old} - \alpha \frac{\partial L}{\partial b} \]
其中`\alpha`是学习率。

3. **迭代过程**：重复上述步骤，不断更新`w`和`b`，直到达到预设的停止条件（如达到一定的迭代次数或损失变化很小），此时的参数就是模型的最佳拟合。