pca特征提取和距离判别分析，人脸识别

### PCA特征提取与距离判别分析在人脸识别中的应用

#### 主成分分析(PCA)用于特征提取

主成分分析是一种统计方法，通过正交变换将一组可能存在线性相关性的变量转换成一组线性无关的变量，这组新变量称为主成分。对于人脸识别而言，图像数据通常具有高维度特性，而PCA能够有效地降低这些数据的维数并保留主要的信息[^1]。

人脸图片可以被看作是一个向量，在实际操作中会先构建一个由多张训练样本构成的数据矩阵X。接着计算该矩阵协方差矩阵Σ，并求解其对应的特征值λi及其相应的单位化后的特征向量vi形成投影方向集V=[v1,v2,...,vk]。最后利用这个投影方向集合来映射新的测试样本到低维空间内表示：

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA

def pca_transform(data_matrix, num_components=100):
    """
    使用PCA降维
    
    参数:
        data_matrix (numpy.ndarray): 输入的人脸图像数据矩阵.
        num_components (int): 需要保留的主要成分数量.

    返回:
        transformed_data (numpy.ndarray): 经过PCA处理过的降维后数据.
    """

    pca = PCA(n_components=num_components)
    transformed_data = pca.fit_transform(data_matrix)

    return transformed_data

#### 距离判别分析(LDA)辅助分类决策

尽管PCA有助于减少冗余信息，但它并不考虑类别之间的差异性。因此引入LDA作为补充手段可以帮助提高识别精度。LDA旨在寻找最佳投影轴使得不同类别的均值差距最大化的同时最小化同类内部变化程度。具体来说就是找到能使J(w)=Sw^-1*Sb最大的w向量，其中Sw代表总散度矩阵Sb则指贝叶斯间类散布矩阵[^2]。

当完成上述两个阶段之后就可以基于欧氏距离或其他相似度测度来进行最终的身份确认工作了。给定未知个体dtest，将其经过相同预处理流程得到对应于k维子空间下的坐标表达形式ztest；随后遍历整个数据库D={zi}ni=1查找最接近目标点的那个标签yi*即为预测结果y^:

\[ y^{*}=argmin_{y_i \in D}\left\| z_{t e s t}-z_{i}\right\|^2_2 \]