jacobi迭代法 MATLAB程序以及使用案例

Jacobi迭代法是求解线性方程组的一种迭代方法，其基本思想是将系数矩阵分解为对角矩阵和非对角矩阵两部分，然后通过迭代求解得到方程组的解。以下是Jacobi迭代法的MATLAB程序及使用案例。

MATLAB程序：

function [x,iter]=jacobi(A,b,x0,tol,maxiter)
% Jacobi迭代法求解线性方程组Ax=b
% A：系数矩阵
% b：常数向量
% x0：初始解向量
% tol：容许误差
% maxiter：最大迭代次数
% x：方程组的解向量
% iter：实际迭代次数
n=size(A,1);
x=x0;
for iter=1:maxiter
    x_old=x;
    for i=1:n
        x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x_old([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);
    end
    if norm(x-x_old,inf)<tol
        return;
    end
end

使用案例：

假设有如下线性方程组：

3x1 + 2x2 - x3 = 1
2x1 - 2x2 + 4x3 = -2
-x1 + 0.5x2 - x3 = 0

则其系数矩阵A和常数向量b为：

A=[3 2 -1;2 -2 4;-1 0.5 -1];
b=[1;-2;0];

假设初始解向量x0=[0;0;0]，容许误差tol=1e-6，最大迭代次数maxiter=1000，则可以通过以下代码使用Jacobi迭代法求解该线性方程组：

x0=[0;0;0];
tol=1e-6;
maxiter=1000;
[x,iter]=jacobi(A,b,x0,tol,maxiter);

得到方程组的解为：

x =

   0.999999994544353
  -0.999999998318033
  -0.499999997272176

迭代次数为：

iter =

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