python求n阶带有拉格朗日余项的泰勒展开式

答：假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n+1$ 阶的可导性，且 $f^{(n+1)}(x)$ 在 $[x_0, x]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $(n+1)$ 阶泰勒展开式为：

$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

其中 $\xi$ 是 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个数，且满足 $\xi \in (x_0, x)$。因此，$f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 阶带有拉格朗日余项的泰勒展开式为：

$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$$

其中 $\xi$ 是 $x_0$ 和 $x$ 之间的某个数，且满足 $\xi \in (x_0, x)$。

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求一道运用拉格朗日余项泰勒公式解决不等式问题的题目

这是一道不等式的题目：设定$x^2 - 2x + 1 \leq 0$，求$x$的取值范围。解：用拉格朗日余项泰勒公式解决：$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} = 1 \pm \sqrt{0} = 1$因此，$x$的取值范围为$[1,1]$

泰勒公式中拉格朗日余项的推导过程

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 内 $n+1$ 阶可导，则对于任意 $x\in[a,b]$，存在 $c\in(a,b)$，使得：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

其中，$\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ 是泰勒公式中的 $n$ 阶近似，$\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ 是拉格朗日余项。

下面是拉格朗日余项的推导过程：

首先定义一个辅助函数 $g(t)$：

$$g(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k$$

则 $g(a)=g(x)=0$，且 $g(t)$ 在 $[a,x]$ 内有 $n+1$ 阶导数。因此，根据罗尔定理，存在 $c\in(a,x)$，使得 $g'(c)=0$。

对 $g'(t)$ 在 $[a,x]$ 内应用拉格朗日中值定理，可以得到：

$$g'(c)=g(x)-g(a)=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k-\frac{f^{(n+1)}(c)}{n!}(x-c)^n$$

整理得到：

$$f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

这就是泰勒公式中的展开式，其中 $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ 就是拉格朗日余项。