.(1)写一种最小生成树的伪代码，分析时间复杂度。Prim或Kruskal均可；(2)在原图G中，加入一条边e，请设计一种高效的算法判断是否改变原来的最小生成树。简述算法思想，写出伪代码，分析时间复杂度，给出证明。

(1) Kruskal算法伪代码：

Kruskal(G):
1. 将图G的所有边按权值从小到大排序
2. 初始化一个空的最小生成树MST
3. for 边 e in 排序后的边集:
4.     如果将边e加入MST不会形成环，则将e加入MST
5. 返回MST

时间复杂度分析：排序边的时间复杂度为O(ElogE)，判断是否形成环的时间复杂度为O(ElogV)，总时间复杂度为O(ElogE)。

(2) 判断加入一条边e是否改变原来的最小生成树的算法思想：
我们可以先在原最小生成树上找到e的两个端点u和v的路径，然后找到路径上权值最大的边f。如果f的权值大于e的权值，则将f替换为e后得到的树仍然是原来的最小生成树。否则，将e加入原来的最小生成树后，得到的新树将成为新的最小生成树。

算法伪代码：

check_change(G, e, MST):
1. 找到e的两个端点u和v在MST中的路径path
2. 在path上找到权值最大的边f
3. if f.weight > e.weight:
4.     return False  # 不改变原最小生成树
5. else:
6.     return True  # 改变原最小生成树

时间复杂度分析：
在最坏情况下，需要沿着最大的路径遍历整个树，时间复杂度为O(V)，再找到路径上最大的边需要O(logV)的时间复杂度，因此总时间复杂度为O(VlogV)。

相关问题

prim算法最小生成树伪代码实现

以下是prim算法的最小生成树伪代码实现：

输入：无向图G，节点数n，边数m，表示第i个节点是否已加入集合的数组vis，节点之间的边的权值数组w。

1.选择1号节点作为初始节点加入集合，vis[1]=true。

2.初始化dist数组，dist[i]=w[1][i]，表示与1号节点相连的边的权值。

3.重复执行n-1次以下操作：

1)从未加入集合的节点中找到dist最小的节点v，将其加入集合，vis[v]=true。

2)更新未加入集合的节点与集合中节点的边的权值，若dist[i]>w[v][i]，则dist[i]=w[v][i]。

4.输出最小生成树的总权值sum，由vis数组可以得到最小生成树的节点集合。

伪代码如下：

prim(G, n, m, vis, w):
# 选择1号节点作为初始节点加入集合
vis[1] = true
# 初始化dist数组
for i in range(2, n+1):
dist[i] = w[1][i]
# 重复执行n-1次
for i in range(1, n):
# 找到dist最小的节点v，将其加入集合
minDist = INF
for j in range(1, n+1):
if not vis[j] and dist[j] < minDist:
minDist = dist[j]
v = j
vis[v] = true
# 更新dist数组
for j in range(1, n+1):
if not vis[j] and dist[j] > w[v][j]:
dist[j] = w[v][j]
# 计算最小生成树的总权值
sum = 0
for i in range(1, n+1):
if vis[i]:
sum += dist[i]
return sum

prim算法最小生成树的伪代码实现

A：

1. 选择任意一个起始点作为生成树的根节点
2. 将所有与根节点相邻的边加入候选边集中(候选边集初始化)
3. 选择候选边集中权重最小的边，如果该边连接的节点未被加入生成树，就将该边和节点加入生成树，同时将连接该节点的边加入候选边集中
4. 重复步骤3，直到候选边集为空

伪代码如下：

1. MST-Prim(G, r):
2. for each vertex v in G.V:
3. v.key = infinity # 顶点v的关键字，表示与生成树中的最小边权重
4. v.parent = NIL # v的父节点
5. r.key = 0 # 随机选择一个顶点r的权值设置为0，作为起点
6. Q = G.V # Q为集合，包含所有顶点
7. while Q is not empty:
8. u = Extract-Min(Q) # 取出key值最小的顶点
9. for each v in G.Adj[u]: # 对u的邻接点v进行松弛操作
10. if v in Q and G.weight(u,v) < v.key:
11. v.parent = u # 当前v的父亲是u
12. v.key = G.weight(u,v) # 更新v的关键字
13. return MST(G) # 返回最小生成树的所有边