分析用下列迭代法求解线性方程组 的收敛性，并求出使的近似解即相应的迭代次数： (3)雅可比迭代法 (4)高斯-赛德尔迭代法

(3) 雅可比迭代法的收敛性：

设线性方程组的系数矩阵为$A$，将其分解为$D-L-U$的形式，其中$D$是$A$的对角线部分，$L$是$A$的严格下三角部分，$U$是$A$的严格上三角部分。

则雅可比迭代法的迭代公式为：

$$
x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b
$$

将其写成误差形式：

$$
x^{(k+1)}-x=D^{-1}(L+U)(x^{(k)}-x)
$$

设误差为$e^{(k+1)}=x^{(k+1)}-x$，则有：

$$
e^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)e^{(k)}
$$

对其进行范数估计：

$$
\begin{aligned}
\|e^{(k+1)}\| & =\|D^{-1}(L+U)e^{(k)}\| \\
& \leq \|D^{-1}\|\cdot\|(L+U)e^{(k)}\| \\
& \leq \|D^{-1}\|\cdot\|L+U\|\cdot\|e^{(k)}\|
\end{aligned}
$$

因此，当$\|L+U\|<1/\|D^{-1}\|$时，雅可比迭代法收敛。

此外，由于雅可比迭代法的迭代矩阵为$M_J=D^{-1}(L+U)$，其特征值为：

$$
\lambda_i=\frac{\sum_{j=1,j\neq i}^n|a_{i,j}|}{|a_{i,i}|}
$$

若存在$i$，使得$\lambda_i\geq 1$，则迭代法不收敛。

(4) 高斯-赛德尔迭代法的收敛性：

高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为：

$$
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j^{(k)}\right)
$$

将其写成误差形式：

$$
x_i^{(k+1)}-x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(-\sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}(x_j^{(k+1)}-x_j)-\sum_{j=i+1}^na_{ij}(x_j^{(k)}-x_j)\right)
$$

设误差为$e^{(k+1)}=x^{(k+1)}-x$，则有：

$$
|e_i^{(k+1)}|\leq\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}||e_j^{(k+1)}|+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}||e_j^{(k)}|\right)
$$

对其进行范数估计：

$$
\begin{aligned}
\|e^{(k+1)}\|_\infty & =\max_i|e_i^{(k+1)}| \\
& \leq \max_i\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}||e_j^{(k+1)}|+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}||e_j^{(k)}|\right) \\
& \leq \max_i\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\max_k|e_k^{(k+1)}|+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\max_k|e_k^{(k)}|\right) \\
& = \max_i\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\|e^{(k+1)}\|_\infty+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\|e^{(k)}\|_\infty\right) \\
& \leq \max_i\frac{1}{|a_{ii}|}\left(\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|\|e^{(k+1)}\|_\infty+\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|\|e^{(k)}\|_\infty\right) \\
& = \max_i\left(\frac{\sum_{j=1}^{i-1}|a_{ij}|}{|a_{ii}|}+\frac{\sum_{j=i+1}^n|a_{ij}|}{|a_{ii}|}\right)\|e^{(k)}\|_\infty \\
& = \max_i\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\frac{|a_{ij}|}{|a_{ii}|}\right)\|e^{(k)}\|_\infty \\
& = \rho(G_{GS})\cdot\|e^{(k)}\|_\infty
\end{aligned}
$$

其中，$G_{GS}$为高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵，$\rho(G_{GS})$为其谱半径。

因此，当$\rho(G_{GS})<1$时，高斯-赛德尔迭代法收敛。

同时，由于高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法的差别在于，高斯-赛德尔迭代法每次迭代更新后，已经求得了$x_1,x_2,\dots,x_i$的近似值，因此它的收敛速度比雅可比迭代法更快。