python牛顿法求多元函数极值画图

在Python中，我们可以使用数值优化库如`scipy.optimize`中的`minimize`函数结合`matplotlib`库来进行多元函数极值的求解并绘制图像。牛顿法（Newton's Method）是一种迭代算法，用于寻找函数的局部最小点，它通常比梯度下降法更高效。

首先，你需要导入必要的库：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import matplotlib.pyplot as plt

然后定义一个多元函数，例如我们要找其最小值的二维函数：

def objective_function(x):
    return x[0]**2 + 5*x[1]**2 - 4*x[0]*x[1] + 4

# 假设我们有三个变量，可以根据实际需要调整
num_variables = 2
initial_guess = np.random.rand(num_variables)

# 使用牛顿法求解极值
result = minimize(objective_function, initial_guess, method='Newton-CG')

# 获取极值点
critical_point = result.x
function_value_at_min = result.fun

print("最优解：", critical_point)
print("函数最小值：", function_value_at_min)

接下来，为了可视化结果，我们将函数在极值附近生成网格，并计算函数值：

# 定义绘图区域
x_values = np.linspace(-5, 5, 100)
y_values = np.linspace(-5, 5, 100)
X, Y = np.meshgrid(x_values, y_values)

# 计算网格上的函数值
Z = objective_function(np.array([X.ravel(), Y.ravel()])).reshape(X.shape)

# 绘制等高线图
plt.contourf(X, Y, Z, levels=20)
plt.colorbar()
circle = plt.Circle(critical_point, 0.1, color='red', fill=False)
plt.plot(critical_point[0], critical_point[1], 'ro')
plt.gca().add_artist(circle)
plt.title('函数极小值点及等值线图')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()