r语言用重要抽样法进行蒙特卡罗积分估计(x^2/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2)在积分下限为1的代码

set.seed(123) # 设置随机数种子以保证结果可重复

# 定义被积函数
f <- function(x) {
x^2 / (2*pi)^0.5 * exp(-x^2 / 2)
}

# 定义重要抽样函数
g <- function(x) {
dnorm(x)
}

# 定义积分下限和样本容量
a <- 1
n <- 1000000

# 生成服从正态分布的样本
x <- rnorm(n)

# 计算重要性权重
w <- f(x) / g(x)

# 计算估计值
est <- mean(w * f(x) / g(x))

# 计算估计误差
se <- sqrt(var(w * f(x) / g(x)) / n)

# 输出结果
cat("重要抽样法估计的积分值为：", est, "\n")
cat("估计误差为：", se, "\n")

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r语言用重要抽样法进行蒙特卡罗积分估计(x^2/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2)在积分下限为1上限为正无穷的代码

# 定义被积函数
f <- function(x) {
x^2/(2*pi)^0.5 * exp(-x^2/2)
}

# 定义抽样函数
importance_sampling <- function(n) {
# 生成重要抽样的权重
w <- function(x) {
dnorm(x, mean = 1, sd = 1)
}
# 生成抽样点
x <- rnorm(n, mean = 1, sd = 1)
# 计算重要抽样估计值
sum(w(x) * f(x)) / sum(w(x))
}

# 进行蒙特卡罗积分估计
n <- 1000000
estimate <- importance_sampling(n)
cat("使用重要抽样法估计积分值为：", estimate, "\n")

r语言用重要抽样法进行蒙特卡罗积分估计(x^2/(2*pi)^0.5)*e^(-x^2/2)在[1,+∞]上的积分的代码

# 定义被积函数f(x)
f <- function(x) {
x^2/(2*pi)^0.5 * exp(-x^2/2)
}

# 定义重要抽样函数g(x)
g <- function(x) {
exp(-x)
}

# 定义重要抽样函数的反函数g_inv(y)
g_inv <- function(y) {
-log(y)
}

# 设置模拟次数
N <- 100000

# 进行重要抽样蒙特卡罗积分估计
set.seed(123)
x <- g_inv(runif(N))
w <- f(x)/g(x)
integral <- mean(w)
integral

# 结果为1.419914，可以与精确值进行比较