设A={1，2，3，4}，在A×A上定义二元关系R，任意＜u,v＞,＜x,y＞∈A×A,＜u,v＞R＜x,y＞双向箭头u+y=x+v，确定由R引起的对A×A的划分

根据二元关系R的定义，对于任意的＜u,v＞∈A×A，R与之相关的元素为所有满足u+y=x+v的＜x,y＞∈A×A。可以将这些元素分为以下四类：

1. 对于任意的＜u,v＞∈A×A，当u+v为奇数时，没有满足条件的＜x,y＞∈A×A，因此＜u,v＞就是一个等价类。

2. 对于任意的＜u,v＞∈A×A，当u+v为偶数时，只有一个满足条件的＜x,y＞∈A×A，即＜x,y＞＝＜(u+v)/2, (u+v)/2＞，因此＜u,v＞与＜(u+v)/2, (u+v)/2＞在同一等价类中。

3. 对于任意的＜u,v＞∈A×A，当u=v时，只有一个满足条件的＜x,y＞∈A×A，即＜x,y＞＝＜u,v＞，因此＜u,v＞与＜u,v＞在同一等价类中。

4. 对于任意的＜u,v＞∈A×A，当u≠v且u+v为偶数时，有两个满足条件的＜x,y＞∈A×A，即＜x,y＞＝＜(u+v)/2-1, (u+v)/2+1＞和＜(u+v)/2+1, (u+v)/2-1＞，因此＜u,v＞与＜(u+v)/2-1, (u+v)/2+1＞在同一等价类中，与＜(u+v)/2+1, (u+v)/2-1＞在同一等价类中。

因此，由R引起的对A×A的划分为五个等价类：

{＜1,1＞,＜2,2＞,＜3,3＞,＜4,4＞}

{＜1,3＞,＜2,4＞,＜3,1＞,＜4,2＞}

{＜1,2＞,＜2,1＞,＜3,4＞,＜4,3＞}

{＜1,4＞,＜2,3＞,＜3,2＞,＜4,1＞}

{＜1,2＞,＜2,1＞,＜3,4＞,＜4,3＞,＜1,3＞,＜2,4＞,＜3,1＞,＜4,2＞}