C++用动态规划法解决含有500个点的商旅问题

商旅问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的NP难问题，目前还没有能够在多项式时间内解决的算法。

使用动态规划算法求解TSP问题时，可以采用“状态压缩+记忆化搜索”的方法，具体思路如下：

1. 定义状态：DP[S][i]表示已经走过的点集合为S，当前所在的点为i时，从当前点i出发经过所有包含在集合S中的点恰好一次，最终回到出发点的最短路径长度。

2. 状态转移方程：DP[S][i] = min{DP[S-{i}][j] + dis[j][i]}，其中j∈S-{i}，dis[j][i]表示点i和点j之间的距离（或者权值）。

3. 初始化：DP[{1<<i}][i] = dis[0][i]，表示只包含起点0和点i的路径长度。

4. 最终结果：min(DP[{(1<<n)-1}][i] + dis[i][0])，其中n为点的个数，i∈[0,n)。

具体实现时，可以使用一个二维数组DP和一个一维数组vis，其中vis[i]表示点i是否已经被访问过。在记忆化搜索时，需要将vis数组转化为一个二进制数，用来表示已经访问过的点，从而实现状态压缩。

下面是C++的代码实现，时间复杂度为O(2^n * n^2)。

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 505, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, dis[N][N], DP[1<<20][N], vis[N];

int TSP(int S, int i) {
    if (DP[S][i] != -1) return DP[S][i];
    if (S == (1<<n)-1 && i == 0) return DP[S][i] = 0;
    int res = INF;
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        if ((S>>j) & 1) continue;
        res = min(res, TSP(S|(1<<j), j) + dis[j][i]);
    }
    return DP[S][i] = res;
}

int main() {
    cin >> n;
    memset(DP, -1, sizeof(DP));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            cin >> dis[i][j];
        }
    }
    cout << TSP(1, 0) << endl;
    return 0;
}