数值分析的高斯塞德尔迭代实现

高斯-塞德尔迭代法是一种数值分析中用于求解线性方程组的迭代方法。其基本思想是在每次迭代中，使用当前未知量的最新值来更新方程组中的每个方程，从而逐步逼近方程组的解。以下是高斯-塞德尔迭代法的实现步骤：

1. 初始化未知量的初值，通常可以选择一个全零向量或者一个随机向量。
2. 对于每个方程，使用当前未知量的最新值来更新该方程中未知量的值，直到所有方程的未知量都被更新。
3. 重复步骤2，直到未知量的值收敛到所需精度或达到最大迭代次数。

下面是一个使用Python实现高斯-塞德尔迭代法的例子：

import numpy as np

# 定义线性方程组的系数矩阵和常数向量
A = np.array([[10, 1, 1], [2, 10, 1], [2, 2, 10]])
b = np.array([12, 13, 14])

# 初始化未知量的初值
x0 = np.zeros_like(b)

# 设置迭代次数和收敛精度
max_iter = 100
tol = 1e-6

# 开始迭代
for k in range(max_iter):
    x = np.zeros_like(x0)
    for i in range(len(b)):
        x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, :i], x[:i]) - np.dot(A[i, i+1:], x0[i+1:])) / A[i, i]
    if np.linalg.norm(x - x0) < tol:
        break
    x0 = x

# 输出结果
print("The solution of Ax=b is:", x)