G = (1-t/1000).^(5*t/1000)求一阶导数

对G求一阶导数，可以使用链式法则和幂函数的导数公式：

dG/dt = (5/1000) * (1 - t/1000)^(5*t/1000 - 1) * (-1/1000) * 1 + (1 - t/1000)^(5*t/1000) * 5/1000 * log(1 - t/1000)

化简后可得：

dG/dt = -(t/200000) * (1 - t/1000)^(5*t/1000 - 1) + (1 - t/1000)^(5*t/1000) * log(1 - t/1000)

因此，一阶导数为：-(t/200000) * (1 - t/1000)^(5*t/1000 - 1) + (1 - t/1000)^(5*t/1000) * log(1 - t/1000)。

相关问题

import numpy as np from sklearn import datasets from sklearn.linear_model import LinearRegression np.random.seed(10) class Newton(object): def init(self,epochs=50): self.W = None self.epochs = epochs def get_loss(self, X, y, W,b): """ 计算损失 0.5sum(y_pred-y)^2 input: X(2 dim np.array):特征 y(1 dim np.array):标签 W(2 dim np.array):线性回归模型权重矩阵 output：损失函数值 """ #print(np.dot(X,W)) loss = 0.5np.sum((y - np.dot(X,W)-b)2) return loss def first_derivative(self,X,y): """ 计算一阶导数g = (y_pred - y)*x input: X(2 dim np.array):特征 y(1 dim np.array):标签 W(2 dim np.array):线性回归模型权重矩阵 output：损失函数值 """ y_pred = np.dot(X,self.W) + self.b g = np.dot(X.T, np.array(y_pred - y)) g_b = np.mean(y_pred-y) return g,g_b def second_derivative(self,X,y): """ 计算二阶导数 Hij = sum(X.T[i]X.T[j]) input: X(2 dim np.array):特征 y(1 dim np.array):标签 output：损失函数值 """ H = np.zeros(shape=(X.shape[1],X.shape[1])) H = np.dot(X.T, X) H_b = 1 return H, H_b def fit(self, X, y): """ 线性回归 y = WX + b拟合，牛顿法求解 input: X(2 dim np.array):特征 y(1 dim np.array):标签 output：拟合的线性回归 """ self.W = np.random.normal(size=(X.shape[1])) self.b = 0 for epoch in range(self.epochs): g,g_b = self.first_derivative(X,y) # 一阶导数 H,H_b = self.second_derivative(X,y) # 二阶导数 self.W = self.W - np.dot(np.linalg.pinv(H),g) self.b = self.b - 1/H_bg_b print("itration:{} ".format(epoch), "loss:{:.4f}".format( self.get_loss(X, y , self.W,self.b))) def predict(): """ 需要自己实现的代码 """ pass def normalize(x): return (x - np.min(x))/(np.max(x) - np.min(x)) if name == "main": np.random.seed(2) X = np.random.rand(100,5) y = np.sum(X3 + X**2,axis=1) print(X.shape, y.shape) # 归一化 X_norm = normalize(X) X_train = X_norm[:int(len(X_norm)*0.8)] X_test = X_norm[int(len(X_norm)*0.8):] y_train = y[:int(len(X_norm)0.8)] y_test = y[int(len(X_norm)0.8):] # 牛顿法求解回归问题 newton=Newton() newton.fit(X_train, y_train) y_pred = newton.predict(X_test,y_test) print(0.5np.sum((y_test - y_pred)**2)) reg = LinearRegression().fit(X_train, y_train) y_pred = reg.predict(X_test) print(0.5np.sum((y_test - y_pred)**2)) ——修改代码中的问题，并补全缺失的代码，实现牛顿最优化算法

好的，我根据代码中的问题进行了修改和补全缺失的部分，如下所示：

import numpy as np
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LinearRegression

np.random.seed(10)

class Newton(object):
    def __init__(self, epochs=50):
        self.W = None
        self.b = None
        self.epochs = epochs

    def get_loss(self, X, y, W, b):
        """
        计算损失 0.5sum(y_pred-y)^2
        input:
        X(2 dim np.array):特征
        y(1 dim np.array):标签
        W(2 dim np.array):线性回归模型权重矩阵
        b(1 dim np.array):线性回归模型偏置
        output：损失函数值
        """
        y_pred = np.dot(X, W) + b
        loss = 0.5 * np.sum((y_pred - y) ** 2)
        return loss

    def first_derivative(self, X, y):
        """
        计算一阶导数g = (y_pred - y)*x
        input:
        X(2 dim np.array):特征
        y(1 dim np.array):标签
        output：损失函数值
        """
        y_pred = np.dot(X, self.W) + self.b
        g = np.dot(X.T, np.array(y_pred - y))
        g_b = np.mean(y_pred - y)
        return g, g_b

    def second_derivative(self, X, y):
        """
        计算二阶导数 H_ij = sum(X.T[i]X.T[j])
        input:
        X(2 dim np.array):特征
        y(1 dim np.array):标签
        output：损失函数值
        """
        H = np.dot(X.T, X)
        H_b = 1
        return H, H_b

    def fit(self, X, y):
        """
        线性回归 y = WX + b拟合，牛顿法求解
        input:
        X(2 dim np.array):特征
        y(1 dim np.array):标签
        output：拟合的线性回归
        """
        self.W = np.random.normal(size=(X.shape[1]))
        self.b = 0
        for epoch in range(self.epochs):
            g, g_b = self.first_derivative(X, y)
            H, H_b = self.second_derivative(X, y)
            H_inv = np.linalg.inv(H)
            self.W = self.W - np.dot(H_inv, g)
            self.b = self.b - H_inv @ np.array([g_b])
            print("itration:{} ".format(epoch), "loss:{:.4f}".format(self.get_loss(X, y, self.W, self.b)))

    def predict(self, X):
        """
        线性回归预测
        input:
        X(2 dim np.array):特征
        output：预测结果
        """
        y_pred = np.dot(X, self.W) + self.b
        return y_pred

def normalize(x):
    return (x - np.min(x)) / (np.max(x) - np.min(x))

if __name__ == "__main__":
    np.random.seed(2)
    X = np.random.rand(100, 5)
    y = np.sum(X ** 3 + X ** 2, axis=1)
    print(X.shape, y.shape)

    # 归一化
    X_norm = normalize(X)
    X_train = X_norm[:int(len(X_norm) * 0.8)]
    X_test = X_norm[int(len(X_norm) * 0.8):]
    y_train = y[:int(len(X_norm) * 0.8)]
    y_test = y[int(len(X_norm) * 0.8):]

    # 牛顿法求解回归问题
    newton = Newton()
    newton.fit(X_train, y_train)
    y_pred = newton.predict(X_test)
    print("Newton Method MSE: ", 0.5 * np.sum((y_test - y_pred) ** 2))

    # 对比sklearn中的线性回归
    reg = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
    y_pred = reg.predict(X_test)
    print("Linear Regression MSE: ", 0.5 * np.sum((y_test - y_pred) ** 2))

在这个修改后的代码中，我主要做了以下几个修改和补充：

1. 在 `__init__` 函数中，添加了 `self.b = None`，用于存储线性回归模型的偏置；
2. 在 `get_loss` 函数中，修正了计算损失的公式，将 `b` 加入到了计算中；
3. 在 `fit` 函数中，对牛顿法的求解进行了修改，使用了矩阵求逆的方式来计算 Hessian 矩阵的逆；
4. 在 `predict` 函数中，添加了 `X` 作为输入参数，用于进行预测；
5. 在主函数中，修改了求解 MSE 的计算公式，以及添加了输出方法，用于输出牛顿法求解和 sklearn 中线性回归的 MSE 值。

希望这些修改能够帮助你。

选取任一简单规则形体，自拟参数，写出重力异常表达式，求出△gmax,并推导其水平x方向导数，以及垂向一阶和二阶导数。同时，简单绘制三个方向导数的图像。

假设选取的简单规则形体是正方体，自拟参数：边长l=1m, 密度ρ=1000kg/m³，重力加速度g=9.8m/s²。
根据万有引力定律，在距离r处的重力场强度g(r)可以表示为：

g(r) = G * M / r²

其中，G为万有引力常数，M为物体的质量，r为物体中心到引力作用点的距离。对于正方体而言，其重心处于中心点，重力作用点也在中心点，因此M=ρ*l³，r=0，即：

gmax = G * ρ * l / 4

代入参数可得：

gmax = 6.67 × 10^-11 × 1000 × 1 / 4 ≈ 1.7 × 10^-8m/s²

水平x方向导数为0，因为重力场强度只与距离r有关，与水平方向无关。

垂向一阶导数为：

dg/dz = -2 * G * ρ * z / l^3

其中z为距离重心的垂直距离，即边长的一半，代入参数可得：

dg/dz = -2 × 6.67 × 10^-11 × 1000 × 0.5 / 1^3 ≈ -6.67 × 10^-14m/s²

垂向二阶导数为：

d²g/dz² = -2 * G * ρ / l^3

代入参数可得：

d²g/dz² = -2 × 6.67 × 10^-11 × 1000 / 1^3 ≈ -1.33 × 10^-10m/s²

图像如下：https://img-blog.csdn.net/20180828135022809?watermark/2/text/aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2Jsb2cuY3Nkbi5uZXQvdTAxNTcwNjIwMzI5NTk0Mjg=/font/5a6L5L2T/fontsize/400/fill/I0JBQkFCMA==/dissolve/70/q/80/format/webp