为什么arctanx等价于x

### 回答1：
这是因为 $\arctan(x)$ 函数的定义域是 $(-\infty, \infty)$ ，而其值域是 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。也就是说，对于任意一个实数 $x$ ，都可以在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内找到一个角度 $\theta$ ，使得 $\tan(\theta)=x$ 。因此，$\arctan(x)$ 的定义就是这个角度 $\theta$ 。由于在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内，$\tan(\theta)$ 是单调递增的，因此 $x$ 和 $\theta$ 是一一对应的。所以，$\arctan(x)$ 和 $x$ 是等价的。也就是说，如果 $\tan(\theta)=x$，那么 $\arctan(x)=\theta$。反之，如果 $\arctan(x)=\theta$，那么 $\tan(\theta)=x$。

### 回答2：
arctanx等价于x的原因是因为arctan函数和tan函数是互逆的关系。在数学上，tan函数是指以弧度为单位的正切函数，其定义域为实数集，值域为整个实数集。而arctan函数是指以弧度为单位的反正切函数，其定义域为实数集，值域为介于-pi/2到pi/2之间的开区间。

由于tan函数的定义域为整个实数集，而arctan函数的值域为一个特定区间，即-pi/2到pi/2之间的开区间，因此在整个实数集范围内，对于任意的实数x，存在唯一实数y满足arctan(y)=x。

具体而言，当x取任意实数时，可以通过计算tan(x)得到对应的值。然后通过arctan函数，即将tan函数的结果作为输入，得到对应的角度值。如果将该角度再次输入tan函数计算，得到的结果应该为x。这就说明了arctanx等价于x。

换言之，arctan函数实际上就是对tan函数的逆运算，它可以将任意实数转化为对应的角度值，然后再通过tan函数将该角度值转化为原来的实数。因此，arctanx等价于x。

### 回答3：
首先，需要明确一下arctan函数的定义。arctan函数是反正切函数，用来表示一个实数的反正切值。它的定义域为实数集，值域为[-π/2, π/2]。

要证明arctanx等价于x，可以使用泰勒级数展开的方法。我们知道，函数的泰勒展开可以用来近似表示函数的取值。

泰勒级数展开公式如下：
f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + f'''(0)x^3/3! + ...

对于arctan函数，它的一阶导数是1/(1+x^2)。根据泰勒级数展开公式，可将arctan函数在0附近进行展开：
arctan(x) = arctan(0) + 1/(1+0^2)x + ...

由于arctan(0)等于0，且高阶项含有x的幂次大于1，因此可以近似忽略高阶项。
经过简化计算可得：arctan(x) ≈ x

因此，当x接近于0时，arctanx可以近似地表示为x。这说明arctan函数在x接近于0的情况下等价于x。

需要注意的是，这种等价只在x接近于0时成立，对于其他取值，arctanx和x并不等价。

总结起来，arctanx等价于x的原因是：在x接近于0时，arctanx可以通过泰勒展开近似地表示为x。