matlab PCA点云配准

PCA（Principal Component Analysis，主成分分析）是一种常用的数据降维方法，也可以应用于点云配准。下面简要介绍一下如何使用 MATLAB 进行 PCA 点云配准。

首先，假设我们有两个点云数据集 $P$ 和 $Q$，每个点云有 $n$ 个点，每个点的坐标为 $(x_i, y_i, z_i)$。我们的目标是找到一个变换矩阵 $R$ 和一个平移向量 $t$，使得 $P$ 经过变换后能够和 $Q$ 对齐。下面是具体的步骤：

1. 对于每个点云，计算出其质心 $c$，即

$$c = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i$$

其中 $p_i$ 表示点云中的第 $i$ 个点。

2. 将每个点云中的点减去其质心，得到新的点云 $P'$ 和 $Q'$。

$$p_i' = p_i - c_p,\quad q_i' = q_i - c_q$$

3. 计算点云 $P'$ 和 $Q'$ 的协方差矩阵 $S_{pp}$ 和 $S_{qq}$，以及它们的 cross-covariance 矩阵 $S_{pq}$，即

$$S_{pp} = \frac{1}{n} P'^T P',\quad S_{qq} = \frac{1}{n} Q'^T Q',\quad S_{pq} = \frac{1}{n} P'^T Q'$$

4. 对 $S_{pp}$ 和 $S_{qq}$ 进行特征值分解，得到它们的特征向量 $V_p$ 和 $V_q$，以及对应的特征值 $\lambda_p$ 和 $\lambda_q$。

5. 选取 $S_{pq}$ 中特征值最大的 $k$ 个特征向量，组成矩阵 $V_{pq}$，即

$$V_{pq} = [v_1, v_2, \dots, v_k]$$

其中 $v_i$ 表示第 $i$ 大的特征值对应的特征向量。

6. 计算旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $t$，使得 $P'$ 经过变换后能够和 $Q'$ 对齐，即

$$R = V_{pq} V_p^T V_q,\quad t = c_q - R c_p$$

这里 $V_p^T$ 和 $V_q$ 表示 $V_p$ 和 $V_q$ 的转置矩阵。

注意，上述方法只能解决刚性变换（旋转和平移），不能处理非刚性变换。另外，如果点云中存在噪点或者离群点，建议先进行滤波或者去除。