1. 对于一个二分类任务，数据的标签和对于预测正例的概率P（y=1|x）如下表所示，试画出 ROC 曲线并计算模型的 AUC 值。 2. 在利用因子分解机做二分类问题时，写出算法的伪代码和参数的梯度计算公式。

**1. ROC曲线绘制与AUC值计算**

首先，我们需要理解ROC曲线是如何构建的。ROC（Receiver Operating Characteristic）曲线展示了真正率（True Positive Rate，TPR，即召回率）与假正率（False Positive Rate，FPR，即错误率）之间的关系。对于二分类任务，我们可以按照以下步骤绘制：

- 绘制坐标轴：横轴为 FPR，纵轴为 TPR。
- 分类器阈值遍历：从低到高设定一系列的阈值，计算每个阈值对应的FPR和TPR。
- 当预测概率 \( P(y=1|x) \) 大于阈值时，判定为正例；反之，判定为负例。
- 计算每个阈值下的真阳例数、假阳例数、真阴例数和假阴例数，进而得到TPR和FPR。
- 将每一对(FPR, TPR)点连接起来形成曲线。

假设我们的数据样本有以下情况：

| 实际标签 | 预测概率P(y=1|x) |
| --- | --- |
| 0 | 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 |
| 1 | 0.8, 0.7, 0.6, 0.5 |

对应地，我们可以找到每个阈值下的TP、FP、TN、FN。然后，通过计算TPR = TP / (TP + FN) 和 FPR = FP / (FP + TN)，并记录下来，最终形成ROC曲线。

AUC（Area Under the Curve）值就是曲线下面积，它反映了分类器所有可能阈值下性能的整体水平。AUC越大，说明分类器区分正负例的能力越强，值在0.5到1之间，其中0.5表示随机猜测，1表示完美分类。

**2. 因子分解机（Factorization Machines）的二分类问题**

因子分解机算法主要用于预测任务，特别是当特征间存在相互作用时。以下是简单的伪代码：

输入: 数据集 X, 标签 Y
参数: 特征矩阵 W, 因子矩阵 U, 拟合参数 lambda

for i in range(max_iterations):
    # 更新因子矩阵U
    for j in range(num_factors):
        U[:,j] = (U[:,j] * (W @ U.T).sum(axis=0) + lambda * U[:,j]) / (||W||^2 + lambda)

    # 更新权重矩阵W
    W = W + learning_rate * (Y * (U * U.T).dot(X) - (W @ U.T).dot(X)).mean(axis=0) + lambda * W

# 使用W预测概率
prediction_prob = sigmoid(W @ X)

梯度计算公式：
- 对于因子U的梯度：\( \frac{\partial Loss}{\partial U} = \lambda U - (W^T \cdot U) \cdot X \cdot (X^T \cdot U)^T + (Y - prediction) \cdot X \cdot U \)
- prediction) \cdot U \cdot U^T \cdot X - (W \cdot U^T \cdot X) \cdot X^T \cdot U \)

注意，以上代码和公式仅为简化的描述，实际应用中可能需要调整学习率（learning_rate）、迭代次数（max_iterations）和正则化项（lambda）。