设{fk}是定义在集合EcRn上的一列函数,满足limfk(x)=f(x),Vx€E,且|f(x)|<∞,Vx E. 证明:Ve>0,lim{x=E:Ifk-f|>e}=0.
时间: 2023-06-10 21:04:39 浏览: 61
好的,我明白了。关于您的问题,我需要先解释一下一些基本概念。
首先,{fk}是定义在集合EcRn上的一列函数,意味着{fk}是由一系列函数组成,并且这些函数的定义域都是EcRn。
接下来,limfk(x)=f(x),意味着随着函数的序列无限接近于一个函数f(x),这个f(x)就称为这个序列的极限。
再次,|f(x)|<∞,表示函数f(x)的绝对值不会无限增大。
最后,Ve>0和lim{x=E:Ifk-f|>e}=0,是关于函数fk与f(x)之间距离的控制条件。
基于这些概念,我们可以开始证明了。
证明:
根据我们的前提条件,设{fk}是定义在集合EcRn上的一列函数,满足limfk(x)=f(x),Vx€E,且|f(x)|<∞。
则,对于任意的ε>0,必定存在N>0,使得当n>N时,有|fk(x)-f(x)|<ε/3。
假设当ε>0时,存在某个x∈E,使得|fk(x)-f(x)|>ε。那么存在某个m,使得n>m时,也有|fk(x)-f(x)|>ε。
由于|fk(x)-f(x)|≤|fk(x)|+|f(x)|<2|f(x)|<∞,所以对于任意的m,也存在某个k>m,使得|fk(x)-f(x)|≤ε/3。
此时,我们可以得到以下不等式:
|fk(x)-f(x)|≤|fk(x)-fk(m)|+|fk(m)-f(x)|
≤|fk(x)-fk(m)|+|fk(m)-f(m)|+|f(m)-f(x)|
<ε/3+ε/3+ε/3=ε
这与前面的假设产生了矛盾,所以当ε>0时,lim{x=E:Ifk-f|>e}=0。
因此,根据上述证明,我们可以得出结论:Ve>0,lim{x=E:Ifk-f|>e}=0。
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