蒙特卡洛积分例题

蒙特卡洛积分是一种通过随机采样来求解积分的方法。下面以求解圆的面积为例进行说明：

假设我们要求解单位圆的面积，即 $x^2 + y^2 \leq 1$，可以使用蒙特卡洛积分的方法，即随机采样一些点，然后计算出落在圆内的点的比例，再将其乘以正方形的面积 $4$，即可得到圆的面积。

具体实现方法如下：

1. 随机生成 $n$ 个坐标 $(x_i, y_i)$，其中 $x_i$ 和 $y_i$ 均服从 $[0,1]$ 上的均匀分布。

2. 统计有多少个点落在圆内，即满足 $x_i^2 + y_i^2 \leq 1$ 的点的个数 $m$。

3. 计算落在圆内的点的比例 $m/n$，并乘以正方形的面积 $4$，即可得到圆的面积的估计值。

下面是 Python 代码实现：

import random

def monte_carlo_area(n):
    m = 0
    for i in range(n):
        x = random.uniform(0, 1)
        y = random.uniform(0, 1)
        if x**2 + y**2 <= 1:
            m += 1
    return 4 * m / n

print(monte_carlo_area(1000000))  # 输出圆的面积的估计值

在这个例子中，我们取 $n=1000000$，即随机生成 $1000000$ 个点进行估计，得到的结果大约在 $3.141$ 左右，非常接近圆周率 $\pi$，说明蒙特卡洛积分是一种有效的数值积分方法。