为快速查找文件,小明建立了一个以study为名称的文件夹,在该文件夹里,允许有多级子文件夹,并且要求study文件夹及各级子文件夹都不能为空,且最多包含k个文件或子文件夹。对于study文件夹而言,假设有n1个文件夹包含一个文件或子文件夹,n2个文件夹包含2个文件或子文件夹,……nk个文件夹包含K个文件或子文件夹。假设文件的个数为n0,请证明小明文件的个数为:
时间: 2023-06-07 15:07:57 浏览: 69
1 + n1 + 2n2 + 3n3 + ... + (k-1)nk + kn0
证明:
我们可以通过数学归纳法来证明上式。
首先,当k=0时,study文件夹为空,小明的文件个数为1,符合上式左侧。
假设当k=m时,上式成立,即小明的文件个数为:
1 + n1 + 2n2 + 3n3 + ... + (m-1)nm + mn0
考虑当k=m+1时,假设新增加了nk+1个文件夹包含k+1个文件或子文件夹。
对于每一个包含1个文件或子文件夹的文件夹,新增加的nk+1个文件夹都可以作为子文件夹,因此小明的文件个数增加了nk+1。
对于每一个包含2个文件或子文件夹的文件夹,新增加的nk+1个文件夹中,有k个只包含一个文件或子文件夹,在之前已经计算过了,还剩下nk+1-k个文件夹包含2个文件或子文件夹,因此小明的文件个数增加了2(nk+1-k)。
同理,对于每一个包含i个文件或子文件夹的文件夹,小明的文件个数增加了i(nk+1-k+i)。
因此,小明的文件个数增加了:
nk+1 + 2(nk+1-1) + 3(nk+1-2) + ... + k(nk+1-k) + (k+1)n0
对上式进行变形,得:
1 + n1 + 2n2 + 3n3 + ... + (m-1)nm + mn0 + (k+1)n0 + nk+1 + (k-1)nk + 2(nk+1-1) + ... + k(nk+1-k)
根据上式左侧的式子,我们可以得到:
1 + n1 + 2n2 + 3n3 + ... + mnm + mn0 + (m+1)n0
因此,上式对于任意的k都成立,证毕。
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