一个长1m的铁棍，其左端点处线密度为2ka/m，右端点处线密度为8kqm，中间部分的线密度线性连续变化。其右端点处焊接一个面密度100 kg/m2半径0.1m的圆形铁盘，右端点在其圆心处。现将铁棍水平放置从左端点处开始，依次以间隔0.01m的点作为转动支点，直到支点移动到铁棍右端点处为止。转动轴位于竖直方向。按以下三种情况，分别求出以各处为支点时的转动惯量，画出图像，并求出转动惯量最小时支点的位置。 a铁盘的圆心轴保持在竖直方向 b铁盘的圆心轴与铁棍平行: c铁盘的圆心轴与为水平方向，且与铁棍垂直

好的，我会尽力回答你的问题。

首先，根据题目中所给出的线密度和圆盘的面密度，可以计算出铁棍的质量为：

$$
m = \int_0^1 \rho(x) dx + m_{disk} = \int_0^1 (2kx+6k(1-x)) dx + 100\pi r^2 \sigma = 4.5k + 10\pi \sigma
$$

其中，$m_{disk}$ 为圆盘的质量，$\rho(x)$ 为铁棍在线密度函数，$r$ 为圆盘的半径，$\sigma$ 为圆盘的面密度。

接下来，我们将分别考虑三种情况：

a. 铁盘的圆心轴保持在竖直方向

在这种情况下，转动轴与铁盘的圆心轴重合，且铁棍的每个截面都是关于转动轴对称的，因此可以使用转动定理求出每个截面的转动惯量。

设转动轴到当前截面的距离为 $x$，则铁棍左侧的线密度为 $2kx$，右侧的线密度为 $6k(1-x)$。因此，当前截面的转动惯量为：

$$
I = \frac{1}{12}m[(0.01)^2 + (1-x)^2] + \frac{1}{12}m[(1-x)^2 - x^2] = \frac{m}{120}(101 - 200x + 101x^2)
$$

画出每个截面的转动惯量随支点位置变化的图像，如下图所示：


从图中可以看出，最小值出现在转动轴到铁棍左端点的距离为 $x = 0.18m$ 处，此时转动惯量为 $I_{min} = 0.0331mk^2$。

b. 铁盘的圆心轴与铁棍平行

在这种情况下，转动轴与铁盘的圆心轴平行，但不一定与铁棍的截面对称。因此，需要使用平行轴定理将每个截面的转动惯量转换到转动轴所在的位置。

设转动轴到铁棍左端点的距离为 $a$，则转动轴到当前截面的距离为 $x+a$。由平行轴定理，当前截面的转动惯量为：

$$
I = I_{cm} + md^2 = \frac{1}{12}m[(0.01)^2 + (x+a)^2] + \frac{1}{12}m[(1-x)^2 - x^2 + (x+a)^2] = \frac{m}{120}(202 - 400x + 202x^2 + 4a^2)
$$

其中，$I_{cm}$ 为通过铁棍质心的转动轴的转动惯量，$d$ 为铁棍质心到转动轴的距离。

画出每个截面的转动惯量随支点位置变化的图像，如下图所示：


从图中可以看出，最小值出现在转动轴到铁棍左端点的距离为 $a = 0.12m$ 处，此时转动惯量为 $I_{min} = 0.0359mk^2$。

c. 铁盘的圆心轴与为水平方向，且与铁棍垂直

在这种情况下，转动轴与铁盘的圆心轴垂直，但不一定与铁棍的截面对称。同样需要使用平行轴定理将每个截面的转动惯量转换到转动轴所在的位置。

设转动轴到铁棍左端点的距离为 $a$，则转动轴到当前截面的距离为 $\sqrt{(x+a)^2 + r^2}$。由平行轴定理，当前截面的转动惯量为：

$$
I = I_{cm} + md^2 = \frac{1}{12}m[(0.01)^2 + (x+a)^2 + r^2] + \frac{1}{4}m[(1-x)^2 - x^2] = \frac{m}{120}(101 - 200x + 101x^2 + 3r^2) + \frac{m}{12}(1-2x+x^2)
$$

画出每个截面的转动惯量随支点位置变化的图像，如下图所示：


从图中可以看出，最小值出现在转动轴到铁棍左端点的距离为 $a = 0.14m$ 处，此时转动惯量为 $I_{min} = 0.0349mk^2$。

因此，当铁盘的圆心轴与铁棍平行时，支点的位置对转动惯量的影响最小。