$\min\limits_{x \in \mathbb{R}^n} f(x) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2$ subject to: $g(x) = x_1 + x_2 + \cdots + x_n - a = 0$ 其中，$a > 0$。解读

这是一个无约束的非凸二次优化问题，目标函数为$x$各个分量的平方乘积，约束条件为$x$各个分量的乘积减去一个正数$a$等于0。其中，$a$是一个给定的正实数。

这个问题可以通过拉格朗日乘子法来求解。我们构造拉格朗日函数：

$$
L(x, \lambda) = x_1^2 x_2^2 \cdots x_n^2 + \lambda(x_1 x_2 \cdots x_n - a)
$$

其中，$\lambda$是拉格朗日乘子。对$x$和$\lambda$求偏导数并令其等于0，得到如下的一阶条件：

$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x_i} = 2x_i \prod_{j \neq i}^n x_j + \lambda \prod_{j \neq i}^n x_j = 0 , \quad i=1,2,\cdots,n \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = x_1 x_2 \cdots x_n - a = 0
\end{cases}
$$

将第一个式子中的$x_i$带入第二个式子，得到：

$$
\begin{aligned}
& x_1 x_2 \cdots x_n = \frac{a}{\lambda} \\
\Rightarrow \quad & \lambda \prod_{i=1}^n x_i = a \\
\Rightarrow \quad & \lambda^2 = a^n \\
\Rightarrow \quad & \lambda = \pm a^{\frac{n}{2}}
\end{aligned}
$$

将$\lambda$代入第一个式子，得到：

$$
x_i = \begin{cases}
\sqrt{a}, & \text{if } \lambda = a^{\frac{n}{2}} \\
-\sqrt{a}, & \text{if } \lambda = -a^{\frac{n}{2}}
\end{cases}
$$

因此，优化问题的解为：

$$
x_i = \begin{cases}
\sqrt{a}, & \text{if } i \text{为偶数} \\
-\sqrt{a}, & \text{if } i \text{为奇数}
\end{cases}
$$

这个解是唯一的，并且是全局最优解。