已知惯性矩阵求主轴坐标系的转动惯量

### 计算主轴坐标系中的转动惯量

为了计算已知惯性矩阵下的主轴坐标系的转动惯量，需要找到使惯性张量成为对角阵的变换。这涉及到求解特征值和特征向量的过程。

#### 特征值分解过程

假设有一个3×3的惯性矩阵 \( \mathbf{I} \)，其元素表示为：

\[
\mathbf{I} =
\begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz}\\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
\]

通过求解该矩阵的特征方程可以得到三个实数特征值 \( I_1, I_2, I_3 \)[^1]。这些特征值即为主轴方向上的转动惯量，并且满足不等关系 \( I_1 ≤ I_2 ≤ I_3 \) 或者相反顺序取决于具体物体形状[^2]。

#### Python实现示例

下面是一个简单的Python程序来执行上述操作:

import numpy as np

def compute_principal_moments(inertia_matrix):
    eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(inertia_matrix)

    # Sort by increasing magnitude of eigenvalue.
    sort_indices = np.argsort(eigenvalues)
    
    sorted_eigenvalues = eigenvalues[sort_indices].real  # Only real parts considered here
    
    return sorted_eigenvalues


if __name__ == "__main__":
    # Example Inertia Matrix
    example_inertia_matrix = np.array([[0.5, -0.1, 0],
                                       [-0.1, 0.7, 0],
                                       [0,     0, 1]])

    principal_moments = compute_principal_moments(example_inertia_matrix)
    print("Principal Moments:", principal_moments)

此代码片段定义了一个函数 `compute_principal_moments` 来接收一个惯性矩阵作为输入并返回对应的主矩。注意这里只考虑了实际应用中最常见的三维情况；对于更高维度的情况，则需相应调整算法逻辑。