举例展示低通带限信号的抽样与重构

假设我们有一个低通带限信号 $x(t)$，其频率范围在 $|f| \leq B$，我们想要对其进行抽样与重构。假设我们以采样频率 $f_s$ 进行抽样，那么采样定理告诉我们需要满足 $f_s > 2B$ 才能避免混叠现象。

首先，我们对 $x(t)$ 进行采样，得到采样信号 $x_s[n] = x(nT_s)$，其中 $T_s = \frac{1}{f_s}$ 为采样间隔。

接下来，我们需要对 $x_s[n]$ 进行重构。由于 $x(t)$ 是低通带限信号，其频率范围在 $|f| \leq B$，因此我们可以使用理想低通滤波器对 $x_s[n]$ 进行重构，滤波器的截止频率为 $B$。

理想低通滤波器的频率响应为：

$$H(f) = \begin{cases} 1, & |f| \leq B \\ 0, & |f| > B \end{cases}$$

则重构信号 $x_r(t)$ 可以表示为：

$$x_r(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x_s[n]\frac{\sin(\pi(t-nT_s)B)}{\pi(t-nT_s)}$$

其中 $\frac{\sin(\pi(t-nT_s)B)}{\pi(t-nT_s)}$ 为理想低通滤波器的冲激响应。

最后，我们可以通过对 $x_r(t)$ 进行数值计算来得到重构信号的离散时间序列 $x_r[n]$，即：

$$x_r[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x_s[k]\frac{\sin(\pi(n-k)\frac{B}{f_s})}{\pi(n-k)}$$

需要注意的是，由于 $\frac{\sin(\pi(n-k)\frac{B}{f_s})}{\pi(n-k)}$ 是一个无限长的序列，因此在实际计算中需要使用截断滤波器或者窗函数来限制其长度。此外，在计算过程中还需要注意避免除以 $0$ 的情况发生。