e的x次方(y+2z)dzdydx的三重积分,x范围0到2,y范围0到x,z范围0到x+y
时间: 2024-05-29 07:16:13 浏览: 88
首先,我们可以先对 $dzdydx$ 积分,由于积分区域是一个三角形,因此可以将积分区域分成三个部分进行计算。
第一部分:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y} e^{x(y+2z)} dzdydx
$$
对于 $z$ 的积分,我们可以先将 $e^{x(y+2z)}$ 中与 $z$ 有关的部分提取出来,得到 $e^{2xz} \cdot e^{xy}$,然后对 $z$ 积分即可:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \left[\frac{1}{2x} e^{2xz} \cdot e^{xy} \right]_{0}^{x+y} dydx
$$
化简得:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \frac{e^{2xy + 2x^2}}{2x} dydx
$$
对于 $y$ 的积分,我们可以使用换元法 $u=2xy+2x^2$,则 $du=2x dy$,积分变为:
$$
\int_{0}^{2} \int_{2x^2}^{4x^2+4x} \frac{e^{u}}{4x^2} \frac{du}{2x} dx
$$
化简得:
$$
\frac{1}{4} \int_{0}^{2} \frac{e^{4x^2+4x} - e^{2x^2}}{x} dx
$$
该积分没有解析解,需要使用数值积分方法进行计算。
第二部分:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x} e^{x(y+2z)} dzdydx
$$
同样对于 $z$ 的积分,我们可以先将 $e^{x(y+2z)}$ 中与 $z$ 有关的部分提取出来,得到 $e^{2xz}$,然后对 $z$ 积分即可:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \left[\frac{1}{2x} e^{2xz} \right]_{0}^{x} dydx
$$
化简得:
$$
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \frac{1}{2} dydx = \frac{1}{4} \int_{0}^{2} x^2 dx = \frac{4}{3}
$$
第三部分:
$$
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} \int_{0}^{x+y} e^{x(y+2z)} dzdydx
$$
对于 $z$ 的积分,我们可以先将 $e^{x(y+2z)}$ 中与 $z$ 有关的部分提取出来,得到 $e^{2xz} \cdot e^{xy}$,然后对 $z$ 积分即可:
$$
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} \left[\frac{1}{2x} e^{2xz} \cdot e^{xy} \right]_{0}^{x+y} dydx
$$
化简得:
$$
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} \frac{e^{2x^2+3xy}}{2x} - \frac{e^{2x^2+2xy}}{2x} dydx
$$
对于 $y$ 的积分,我们可以使用换元法 $u=2x^2+3xy$ 和 $v=2x^2+2xy$,则 $du=3x dy$ 和 $dv=2x dy$,积分变为:
$$
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} \left[\frac{1}{6x} e^{u} - \frac{1}{4x} e^{v} \right]_{2x^2}^{2x^2+3x^2} dxdy
$$
化简得:
$$
\frac{1}{12} \int_{0}^{2} \left( e^{14x^2} - 3e^{10x^2} + 2e^{8x^2} \right) dx = \frac{1}{12} \left( \frac{e^{14}}{28} - \frac{e^{10}}{10} + \frac{e^{8}}{4} \right)
$$
因此,三重积分的结果为:
$$
\frac{1}{4} \int_{0}^{2} \frac{e^{4x^2+4x} - e^{2x^2}}{x} dx + \frac{4}{3} + \frac{1}{12} \left( \frac{e^{14}}{28} - \frac{e^{10}}{10} + \frac{e^{8}}{4} \right)
$$