设向量组a1,a2,a3线性相关,则a1一定可以由a2,a3线性表示,这句话对吗?为什么
时间: 2023-09-10 20:13:46 浏览: 804
这句话不一定对。如果向量组a1,a2,a3线性相关,那么至少有一个向量可以表示成其它向量的线性组合。但是不能确定一定是a1可以由a2,a3线性表示,也可能是a2可以由a1,a3线性表示,或者a3可以由a1,a2线性表示。因此,这个语句不一定成立。
举个例子,假设有一个向量组a1 = (1, 1, 1), a2 = (2, 2, 2), a3 = (3, 3, 3)。这个向量组是线性相关的,因为a3 = a1 + 2a2。但是a1不能被a2和a3线性表示,因为它们三个向量共线,线性相关,不能组成三维空间的一组基。所以这个例子说明了这个语句不一定成立。
相关问题
设向量组a1,a2,a3线性无关
如果向量组 a1, a2, a3 线性无关,那么任意一个向量都不可以表示为其它向量的线性组合。也就是说,对于任意一个标量 k1, k2, k3,只有当 k1a1 + k2a2 + k3a3 = 0 时,k1 = k2 = k3 = 0 才成立。
这样的向量组可以作为向量空间的一组基,也就是说,它们能够线性表示向量空间中的所有向量。因此,向量组 a1, a2, a3 的维度为 3,它们可以张成三维空间中的一个平面或整个空间。
若向量组 B1、B2、B3可以由向量组 A1、A2、A3线性表示,则向量组B1、B2、B3可能线性相关,也可能无关正确吗.
若向量组 $B_1,B_2,B_3$ 可以由向量组 $A_1,A_2,A_3$ 线性表示,即存在一组实数 $k_{i,j}$ 使得:
$$\begin{aligned} B_1 &= k_{1,1}A_1 + k_{2,1}A_2 + k_{3,1}A_3 \\ B_2 &= k_{1,2}A_1 + k_{2,2}A_2 + k_{3,2}A_3 \\ B_3 &= k_{1,3}A_1 + k_{2,3}A_2 + k_{3,3}A_3 \end{aligned} $$
则对于任意一组实数 $c_1,c_2,c_3$,有:
$$\begin{aligned} c_1B_1 + c_2B_2 + c_3B_3 &= c_1(k_{1,1}A_1 + k_{2,1}A_2 + k_{3,1}A_3) \\ &+ c_2(k_{1,2}A_1 + k_{2,2}A_2 + k_{3,2}A_3) \\ &+ c_3(k_{1,3}A_1 + k_{2,3}A_2 + k_{3,3}A_3) \\ &= (c_1k_{1,1} + c_2k_{1,2} + c_3k_{1,3})A_1 \\ &+ (c_1k_{2,1} + c_2k_{2,2} + c_3k_{2,3})A_2 \\ &+ (c_1k_{3,1} + c_2k_{3,2} + c_3k_{3,3})A_3 \end{aligned} $$
这表明向量组 $B_1,B_2,B_3$ 线性相关,因为它们可以表示为向量组 $A_1,A_2,A_3$ 的线性组合。
然而,如果向量组 $A_1,A_2,A_3$ 中有一个向量为零向量,那么向量组 $B_1,B_2,B_3$ 也为线性相关的,因为零向量可以由任何一个向量线性表示。如果向量组 $A_1,A_2,A_3$ 中不存在零向量,则向量组 $B_1,B_2,B_3$ 为线性无关的。
因此,结论“若向量组 $B_1,B_2,B_3$ 可以由向量组 $A_1,A_2,A_3$ 线性表示,则向量组 $B_1,B_2,B_3$ 可能线性相关,也可能无关”是正确的。
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