巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数是指滤波器在复频域上的输出功率与输入功率之比，即：

$$|H(j\omega)|^2=\frac{|Y(j\omega)|^2}{|X(j\omega)|^2}=\frac{1}{1+\epsilon^2R_n^2\left(\frac{j\omega}{\omega_c}\right)}$$

其中，$\epsilon$为通带最大波纹系数，$R_n(p)$为归一化滤波器的极点函数，$\omega_c$为截止频率，$\omega$为角频率。

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数是一个关于频率的函数，它描述了滤波器对不同频率信号的削弱程度。在通带内，幅度平方函数的值大致为1，表示该频率信号不受滤波器影响；而在截止频率附近，幅度平方函数的值开始下降，表示该频率信号开始受到滤波器的影响，被滤波器削弱；在阻带内，幅度平方函数的值下降得更快，表示该频率信号被滤波器削弱得更彻底。

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数可以用于评估滤波器的性能，通常使用单位dB表示。对于一个给定的巴特沃斯低通滤波器，可以通过计算其幅度平方函数，来确定其通带最大衰减和阻带最小衰减。

相关问题

巴特沃斯低通滤波器去归一化

### 巴特沃斯低通滤波器去归一化方法

在实际应用中，通常先设计一个归一化的巴特沃斯低通滤波器原型，再对其进行去归一化以适应特定的应用需求。对于巴特沃斯低通滤波器而言，其平方幅度响应表达式为：

\[
|H(jΩ)|^2=\frac{1}{1+\left(\frac{jΩ}{jΩ_c}\right)^{2n}}
\]

其中 \( n \) 表示滤波器的阶数，\( Ω_c \) 是角频率形式下的截止频率[^2]。

#### 设计过程中的去归一化操作

假设已经得到了一个归一化的传递函数 \( H(s)_N \)，则可以通过下面的方式完成去归一化转换得到最终所需的传递函数 \( H(s) \):

如果原目标是希望获得截至频率为 \( f_c \)(Hz), 则对应的角频率 \( ω_c=2πf_c(rad/s) \). 此时应执行如下替换:

\[ s → \frac{s}{ω_c} \]

具体到 MATLAB 中实现这一过程可以采用 `lp2lp` 函数来简化工作流程[^3]:

% 定义参数
fs = 1e3; % 采样率 (example value)
fc = 100; % 新的目标截止频率(Hz)

% 创建一个三阶巴特沃斯低通滤波器对象并获取系数(b,a)
[b, a] = butter(3, 1); 

% 使用 lp2lp 进行去归一化处理
[num, den] = lp2lp(b, a, 2*pi*fc);

% 显示结果
disp('De-normalized filter coefficients:');
disp(['numerator: ', num2str(num)]);
disp(['denominator:', num2str(den)]);

% 绘制频响曲线对比
figure;
freqs(num, den);
title('Frequency Response of De-normalized Butterworth Lowpass Filter');
grid on;

上述代码片段展示了如何通过修改传递函数的形式来进行去归一化，并利用内置工具绘制出相应的频率响应图以便直观理解变化效果.

巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数公式

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数公式为：

$$|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\epsilon^2R_n^2\left(\frac{j\omega}{\omega_c}\right)}$$

其中，$\epsilon$为通带最大波纹系数，$R_n(p)$为归一化滤波器的极点函数，$\omega_c$为截止频率，$\omega$为角频率。

通常情况下，巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数会以dB为单位进行表示，即：

$$|H(j\omega)|_{dB}=20\log_{10}|H(j\omega)|=10\log_{10}\frac{1}{1+\epsilon^2R_n^2\left(\frac{j\omega}{\omega_c}\right)}$$

通过计算幅度平方函数，可以确定巴特沃斯低通滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减，从而对滤波器的性能进行评估。在通带内，幅度平方函数的值大致为1，表示该频率信号不受滤波器影响；而在截止频率附近，幅度平方函数的值开始下降，表示该频率信号开始受到滤波器的影响，被滤波器削弱；在阻带内，幅度平方函数的值下降得更快，表示该频率信号被滤波器削弱得更彻底。