A + =lim λ−>0 ​ (λI+AA T ) −1 A T

根据Woodbury矩阵求逆公式，可以得到：

A(A^T + λI)^-1 = A(A^T)^-1(I + λA(A^T)^-1)^-1

进一步化简可得：

lim λ→0 (λI + AAT)^-1AT = lim λ→0 A(I + λAAT)^-1

由于(I + λAAT)^-1的Taylor展开式为:

(I + λAAT)^-1 = I - λAAT + λ^2(AAT)^2 - λ^3(AAT)^3 + ...

所以

lim λ→0 A(I + λAAT)^-1 = A(AAT)^-1

因此，A(A^T + λI)^-1在λ趋近于0时，收敛到A(A^T)^-1。

相关问题

设 f (x) 在a,+) 上连续，且 lim ( ) ( )d →+   + =    x x a f x f t t A，证明：lim ( )d →+ =  x x a f t t A， lim ( ) 0 x f x →+ = .

根据给定的函数和极限，我们可以利用极限的性质和积分的定义来证明这个结论。

首先，我们注意到根据题目中的条件，函数 f(x) 在区间 [a, +∞) 上连续。因此，我们可以将积分的上限从 t 变为 x，并且不改变积分的值。即：

lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

= lim ( )d

→+∞

其中，我们利用了积分的性质，将积分的上限从 t 变为 x。

接下来，我们可以将被积函数拆分成两个部分：

f(t) - A = [f(t) - f(x)] + [f(x) - A]

根据极限的性质，我们有：

lim ( )d

→+∞

= lim ( [f(t) - f(x)] + [f(x) - A])d

→+∞

由于 f(x) 在区间 [a, +∞) 上连续，我们知道对于任意 ε > 0，存在一个常数 δ > 0，当 |x - t| < δ 时，有 |f(x) - f(t)| < ε。因此，我们可以将上式中的第一项 [f(t) - f(x)] 控制在一个足够小的范围内。

对于第二项 [f(x) - A]，由于 lim ( )d

→+∞

= 0，我们可以选择一个足够大的 x0，使得当 x > x0 时，有 |f(x) - A| < ε/2。

综上所述，我们可以得到：

lim ( )d

→+∞

= lim ( [f(t) - f(x)] + [f(x) - A])d

→+∞

≤ lim ( [f(t) - f(x)])d

→+∞

+ lim ([f(x) - A])d

→+∞

= 0 + 0 = 0

因此，我们证明了所给结论：

lim ( )d

→+∞

= 

x
x a

f t t A，

lim ( ) 0

x

f x

→+∞

= 0.

#include<iostream> #define N 501 using namespace std; int main() { int m; int n; int lim_t[N]; int fine[N]; int is_free[N]; while (cin >> m >> n) { for (int i = 0; i < n; i++) { is_free[i] = 0; cin >> lim_t[i]; } for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> fine[i]; } for (int i = 0; i < n - 2; i++) { for (int j = 0; j < n - 2 - i; j++) { if (fine[j]<fine[j+1]) { int temp; temp = lim_t[j]; lim_t[j] = lim_t[j + 1]; lim_t[j + 1] = temp; temp = fine[j]; fine[j] = fine[j + 1]; fine[j + 1] = temp; } } } for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = lim_t[i]; j >= 1; j--) { if (is_free[j] == 0) { is_free[j] = 1; break; } if (j == 1) { m = m - fine[i]; } } } cout << m << endl; } return 0; }

这段代码使用了冒泡排序对扣除奖励金额进行了排序，然后依次按照规定期限选择游戏。时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为 O(n)。

不过需要注意的是，对于扣除奖励金额相同的游戏，按照规定期限的排序可能会影响最终结果，因此需要对程序进行进一步优化。另外，该代码没有考虑到在同一时段能否完成多个游戏的情况，因此可能存在一些限制。