1/（x^2+2x+2）的原函数

首先，我们需要将分母的二次方式子转化为一个可积的形式。通过配方法，可以将分母写成 x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1。

因此，我们可以将原函数表示为：

∫ 1 / (x^2 + 2x + 2) dx

= ∫ 1 / [(x+1)^2 + 1] dx

接下来，我们可以通过代入变量的方式，令 u = x+1。于是：

∫ 1 / [(x+1)^2 + 1] dx = ∫ 1 / (u^2 + 1) du

这个积分可以通过反正切函数求解，即：

∫ 1 / (u^2 + 1) du = arctan(u) + C

将 u = x+1 代入，得到：

∫ 1 / (x^2 + 2x + 2) dx = arctan(x+1) + C

其中，C为积分常数。

相关问题

8x^2/x^2+1的原函数

这个函数可以通过分部积分来求解。

令 u = x^2+1，dv = 8x^2 dx，则 du = 2x dx，v = (8/3)x^3。

根据分部积分公式，原函数 F(x) 为：

F(x) = ∫(8x^2)/(x^2+1) dx
= ∫(8x^2)/(u) du （令 u = x^2+1）
= 8∫(x^2)/(u) du
= 8(x^2ln(u) - ∫2x dx) + C
= 8(x^2ln(x^2+1) - x^2) + C

其中 C 为常数。因此，8x^2/(x^2+1)的原函数为 8(x^2ln(x^2+1) - x^2) + C。

∫2x^2+1/x^2(1+x^2)dx

这是一个比较复杂的积分，需要进行分部积分和有理函数分解。首先，我们可以将原式拆分成两个部分：

∫2x^2/x^2(1+x^2)dx + ∫1/x^2(1+x^2)dx

对于第一个积分，我们可以进行部分分式分解，得到：

2∫(1/(1+x^2))dx - 2∫(1/(1+x^2))/x^2 dx

第一个积分很容易求解，结果是 2arctan(x)。对于第二个积分，我们可以再次进行部分分式分解，得到：

2∫(1/x^2)dx - 2∫(x^2/(1+x^2))/x^2 dx

第一个积分很简单，结果是 -2/x。对于第二个积分，我们可以将分子进行展开，得到：

-2∫(1/(1+x^2))dx + 2∫(1/(1+x^2))dx/x^2 dx

第一个积分同样很容易求解，结果是 -2arctan(x)。对于第二个积分，我们可以再次进行部分分式分解，得到：

2∫(1/(1+x^2))(1/x^2 - 1/(1+x^2))dx

这个积分也可以比较容易地求解，结果是 2ln(x) - 2arctan(x)。

将这些结果合并起来，我们可以得到原式的最终结果：

2arctan(x) - 2/x - 2ln(x) + C

其中 C 是常数项。