(1-e^(-x))^0.5/x趋于0求极限
时间: 2024-05-19 07:17:19 浏览: 21
可以使用洛必达法则来求解该极限。
将极限式子化简,得:
lim(x->0) [(1-e^(-x))^0.5 / x]
= lim(x->0) [(1-e^(-x)) / x]^0.5 / [1-e^(-x)]^0.5
对分式中的两个部分分别使用洛必达法则:
lim(x->0) [(1-e^(-x)) / x] = lim(x->0) [e^(-x)] / 1 = 1
lim(x->0) [1-e^(-x)]^0.5 = [1-e^(0)]^0.5 = 0
代入原式,得:
lim(x->0) [(1-e^(-x))^0.5 / x]
= lim(x->0) [(1-e^(-x)) / x]^0.5 / [1-e^(-x)]^0.5
= 1/0
= ∞
因此,该极限不存在,或者说是无穷大。
相关问题
求极限:当x趋于0时,[(1+x)^(1/x)-e^(cosx)]/[(1+x)^(1/3)-1]等于多少
使用洛必达法则:
将式子变形,得:
lim[x->0] [(1+x)^(1/x)-e^(cosx)]/[(1+x)^(1/3)-1]
对于分子,使用指数函数的导数公式,得:
lim[x->0] [(1+x)^(1/x)-e^(cosx)] = lim[x->0] [(1+x)^(1/x-1)*(1/x)-(-e^(cosx)*sinx)]
对于分母,使用立方根函数的导数公式,得:
lim[x->0] [(1+x)^(1/3)-1] = lim[x->0] (1/3)*(1+x)^(-2/3)
将导数代入原式,得:
lim[x->0] [(1+x)^(1/x)-e^(cosx)]/[(1+x)^(1/3)-1]
= lim[x->0] [(1+x)^(1/x-1)*(1/x)-(-e^(cosx)*sinx)]/[1/3*(1+x)^(-2/3)]
= lim[x->0] [3*(1+x)^(1/3)*(1+x)^(1/x-1)*(1/x)-(-3*e^(cosx)*sinx)]/[(1+x)^(-2/3)]
= lim[x->0] [3*(1+x)^(1/3+x)*(1+x)^(1/x-1)]/[-2/3*(1+x)^(-5/3)]
= lim[x->0] [-9*(1+x)^(1/3+x-1)/2]
= -9/2
因此,原式的极限为 -9/2。
求x趋1,e^1/x-1的极限
当x趋于1时,分母x-1趋于0,分子e^(1/x)-1也趋于0,所以可以使用洛必达法则求解:
lim(x→1) e^(1/x)-1 = lim(x→1) (e^(1/x))'/(x-1)' = lim(x→1) (-1/x^2)*e^(1/x) = -e
所以,e^(1/x)-1的极限为- e。
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