如果不使用numpy库的qr函数手算呢

如果没有使用NumPy库中的qr函数，可以使用Gram-Schmidt正交化算法手动计算QR分解。以下是一个对方阵A做QR分解的Python函数实现：

import numpy as np

def qr_decomposition(A):
    m, n = A.shape
    Q = np.zeros((m, n))
    R = np.zeros((n, n))
    
    for j in range(n):
        v = A[:, j]
        for i in range(j):
            R[i, j] = np.dot(Q[:, i], A[:, j])
            v = v - R[i, j] * Q[:, i]
        R[j, j] = np.linalg.norm(v)
        Q[:, j] = v / R[j, j]
    
    return Q, R

其中，输入参数A为待分解的方阵，函数返回值Q和R分别为QR分解的结果。可以使用以下代码测试该函数：

A = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
Q, R = qr_decomposition(A)
print("Q = \n", Q)
print("R = \n", R)

输出结果应该与使用NumPy库中的qr函数的结果相同。需要注意的是，手动计算QR分解可能会因为计算精度的问题而出现一些误差。