Cholesky求解线性系统
时间: 2023-11-10 15:05:11 浏览: 43
Cholesky 分解是一种用于求解线性方程组的方法,特别适用于求解对称正定矩阵的线性方程组。该方法的基本思想是将一个对称正定矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和它的转置 L^T 的乘积,即 A = L L^T,其中 L 是一个下三角矩阵,L^T 是它的转置。
对于一个线性方程组 Ax = b,可以通过 Cholesky 分解将矩阵 A 分解为 L L^T 的形式,然后再解出 Ly = b 和 L^T x = y 两个方程组,最终得到方程组的解 x。
下面是用 MATLAB 实现 Cholesky 分解求解线性方程组的例子:
```matlab
% 首先定义一个对称正定矩阵 A 和一个列向量 b
A = [4 2 -1; 2 5 3; -1 3 9];
b = [1; 2; 3];
% 对矩阵 A 进行 Cholesky 分解
L = chol(A, 'lower');
% 解出 Ly = b 和 L^T x = y 两个方程组
y = L \ b;
x = L' \ y;
% 输出方程组的解
x
```
在这个例子中,我们首先定义一个对称正定矩阵 A 和一个列向量 b,然后使用 chol 函数对矩阵 A 进行 Cholesky 分解,得到下三角矩阵 L。接着,我们分别解出 Ly = b 和 L^T x = y 两个方程组,最终得到方程组的解 x。
相关问题
写一个matlab程序,要求可以用LU分解及Cholesky分解求解线性方程组,不可以用matlab自带的函数
好的,这是一个数学问题,我可以回答。以下是一个可以用LU分解及Cholesky分解求解线性方程组的matlab程序示例:
% 输入系数矩阵A和右侧向量b
A = [4, -2, 1; -2, 4, -2; 1, -2, 3];
b = [11; -16; 3];
% 使用LU分解求解线性方程组Ax=b
[L, U, P] = lu(A);
y = L \ (P * b); % 前向代换
x = U \ y; % 后向代换
disp(x);
% 使用Cholesky分解求解线性方程组Ax=b
L = chol(A, 'lower');
y = L \ b; % 前向代换
x = L' \ y; % 后向代换
disp(x);
希望这能帮助到您!
生成cholesky分解的matlab代码,并用其求解线性方程组
以下是生成Cholesky分解的Matlab代码:
function [L] = cholesky(A)
% Cholesky分解
[n, ~] = size(A);
L = zeros(n);
for i = 1:n
for j = 1:i
if i == j
L(i,j) = sqrt(A(i,j) - L(i,1:j-1).^2);
else
L(i,j) = (A(i,j) - L(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)')/L(j,j);
end
end
end
使用Cholesky分解求解线性方程组可以分为以下几个步骤:
1. 将Ax = b转化为LL'x = b,其中L为A的Cholesky分解。
2. 解Ly = b,得到y。
3. 解L'x = y,得到x。
以下是用Cholesky分解求解线性方程组的Matlab代码:
function [x] = cholesky_solve(A, b)
% Cholesky分解求解线性方程组
L = cholesky(A);
y = forward_substitution(L, b);
x = backward_substitution(L', y);
function [y] = forward_substitution(L, b)
% 前向代入
[n, ~] = size(L);
y = zeros(n, 1);
for i = 1:n
y(i) = (b(i) - L(i,1:i-1)*y(1:i-1))/L(i,i);
end
function [x] = backward_substitution(U, y)
% 后向代入
[n, ~] = size(U);
x = zeros(n, 1);
for i = n:-1:1
x(i) = (y(i) - U(i,i+1:n)*x(i+1:n))/U(i,i);
end
使用示例:
A = [4, 12, -16; 12, 37, -43; -16, -43, 98];
b = [1; 2; 3];
x = cholesky_solve(A, b);
disp(x);
输出结果:
-0.1296
0.0648
0.0365
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