求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 1 上的平均值。

首先，我们需要计算该函数在给定矩形柱体上的积分。由于该矩形柱体是一个直方体，因此可以将积分分解为三个方向上的积分：

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫0^1∫0^2∫0^5(x^2+y^2+z^2)dxdydz

按照积分的线性性质，可以将式子拆分为三个积分的和：

∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz

对于每一个积分，我们可以使用基本的积分公式进行计算：

∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz = (1/3) * 2 * 5^3 = 83.33

∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz = 2 * (1/3) * 5^3 = 83.33

∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz = 1 * 2 * (1/3) * 5^3 = 41.67

因此，该函数在矩形柱体上的积分为 208.33。该矩形柱体的体积为 10，因此该函数在矩形柱体上的平均值为 20.833。

相关问题

求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4 , 0 ≤ y ≤ 4 , 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值。

该函数在矩形柱体内的三重积分为：

∫0^5 ∫0^4 ∫0^4 (x^2 + y^2 + z^2) dxdydz

对其中的每一个变量进行积分，得到：

∫0^5 (64/3 + 16z^2) dz
= 64/3 * 5 + (16/3) * (5^3)
= 320/3

因此，该函数在矩形柱体内的平均值为：

(1/5*4*4) * (320/3) = 256/15

因此，函数 f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, 0 ≤ z ≤ 5 上的平均值为 256/15。