求函数 f ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 在矩形柱体 0 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ 2 , 0 ≤ z ≤ 1 上的平均值。

首先，我们需要计算该函数在给定矩形柱体上的积分。由于该矩形柱体是一个直方体，因此可以将积分分解为三个方向上的积分：

∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫0^1∫0^2∫0^5(x^2+y^2+z^2)dxdydz

按照积分的线性性质，可以将式子拆分为三个积分的和：

∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz + ∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz

对于每一个积分，我们可以使用基本的积分公式进行计算：

∫0^1∫0^2∫0^5x^2dxdydz = (1/3) * 2 * 5^3 = 83.33

∫0^1∫0^2∫0^5y^2dxdydz = 2 * (1/3) * 5^3 = 83.33

∫0^1∫0^2∫0^5z^2dxdydz = 1 * 2 * (1/3) * 5^3 = 41.67

因此，该函数在矩形柱体上的积分为 208.33。该矩形柱体的体积为 10，因此该函数在矩形柱体上的平均值为 20.833。