推导编写计算得出卡方分布参数极大似然估计Python代码

卡方分布（Chi-squared distribution）是一种统计学中常用的连续概率分布，它的参数通常有两个：自由度（degrees of freedom, df）和形状参数。对于给定数据集，我们可以通过最大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）来估计卡方分布的参数。以下是一个简单的Python代码示例，假设我们有来自卡方分布的数据，并使用scipy库来进行估计：

from scipy.stats import chi2
import numpy as np

# 假设我们有一些独立观测值x_i，总共有n个
data = np.array([...])  # 你需要提供实际的数据

# 初始猜测的自由度df
df_guess = initial_df_guess  # 可以根据经验或直觉设定

def log_likelihood(df):
    """计算卡方分布的对数似然"""
    return -chi2.logpdf(data, df)

# 使用scipy.optimize.maximize函数寻找最大似然估计
from scipy.optimize import minimize_scalar

# 寻找最佳自由度
result = minimize_scalar(log_likelihood, bounds=(0, df_guess), method='bounded')
estimated_df = result.x

# 由于卡方分布是对称的，形状参数一般不需要直接估计，通常是自动推断的
shape_param = chi2.pdf(estimated_df, estimated_df) / data.mean()  # 这里使用平均值作为初始猜测

print(f"Estimate for degrees of freedom (df): {estimated_df}")
print(f"Estimate for shape parameter: {shape_param}")