粒子群算法求解函数优化问题

### 使用粒子群算法进行函数优化

粒子群算法是一种基于群体智能的全局优化方法，模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。该算法通过迭代更新个体位置和速度，在搜索空间中找到目标函数的最佳值。

#### 初始化参数设置
为了实现粒子群算法，需定义如下主要参数：

- 种群规模 `N`：即粒子数量；
- 维度 `D`：待求解变量的数量；
- 惯性权重 `w`：控制前一时刻的速度对当前速度的影响程度；
- 加速因子 `c1`, `c2`：分别表示认知部分和社会部分的学习因子；
- 边界条件：设定各维度上的最大最小范围；

这些初始化配置决定了后续计算过程中的具体操作方式[^1]。

#### 更新规则描述
对于每一个粒子 i (i=1,2,...,N)，其位置向量 Xi 和速度 Vi 需要按照下述公式不断调整：

当前位置更新公式为：
\[ X_i(t+1)=X_i(t)+V_i(t+1) \]

其中 \( V_i(t+1)\) 的表达式为：
\[ V_i(t+1)= w*V_i(t)+ c_1*rnd()*(pbest_i-X_i(t))+ c_2*rnd()*(gbest-X_i(t))\]

这里 rnd() 表示随机数生成器产生的 [0, 1] 范围内的均匀分布数值；\( pbest_i\) 是指第 i 个粒子的历史最佳位置；而 gbest 则代表整个种群迄今为止发现过的最好位置。

#### Python 实现案例
下面给出一段简单的Python代码用于演示如何利用PSO完成单峰或多峰值测试函数（如Rosenbrock function）的极小化问题:

import numpy as np
from scipy.optimize import rosen

def PSO(func, dim, bound, n_particles=30, max_iter=100):
    # 参数初始化...
    
    for t in range(max_iter):
        fitness = func(X.T)

        # 更新个人历史最优和个人对应的索引
        better_fit_idx = fitness < personal_best_fitness
        personal_best_fitness[better_fit_idx] = fitness[better_fit_idx]
        personal_best_position[:,better_fit_idx] = X[:,better_fit_idx]

        # 记录并更新全局最优
        min_index = np.argmin(personal_best_fitness)
        global_best_fitness = personal_best_fitness[min_index].copy()
        global_best_position = personal_best_position[:,min_index].copy()

        r1,r2 = np.random.rand(2,n_particles)
        
        velocity = w * velocity \
                   + c1*r1*(personal_best_position - X)\
                   + c2*r2*(global_best_position.reshape(-1,1)-X)

        X += velocity
        
        # 控制边界约束
        X[X<bound[0]] = bound[0]
        X[X>bound[1]] = bound[1]

    return global_best_position, global_best_fitness


if __name__ == "__main__":
    D = 2  # 函数输入维数
    bounds = (-5, 10)  # 定义域上下限
    
    best_pos, best_val = PSO(rosen, D, bounds)
    print(f'Best position found: {best_pos}')
    print(f'Minimum value of Rosenbrock function is approximately :{best_val:.6f}')

此段程序实现了基本版的粒子群寻优流程，并选择了著名的Rosenbrock函数作为被优化对象来进行验证实验。