复合函数的矩阵求导法则

复合函数的矩阵求导法则是链式法则的一种推广，它适用于多元函数的情况。设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则 $y=f(g(x))$，根据链式法则，有：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

将 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 带入上式，得到：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{dg}{dx}$$

其中，$\frac{df}{du}$ 表示 $f(u)$ 对 $u$ 的导数，$\frac{dg}{dx}$ 表示 $g(x)$ 对 $x$ 的导数。

对于多元函数 $y=f(u_1,u_2,\cdots,u_m)$，$u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，则有：

$$\frac{\partial y}{\partial x_j}=\sum_{i=1}^m\frac{\partial y}{\partial u_i}\cdot\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$

其中，$\frac{\partial y}{\partial u_i}$ 表示 $y$ 对 $u_i$ 的偏导数，$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ 表示 $u_i$ 对 $x_j$ 的偏导数。