复合函数的矩阵求导法则
时间: 2023-12-10 22:31:45 浏览: 60
复合函数的矩阵求导法则是链式法则的一种推广,它适用于多元函数的情况。设 $y=f(u)$,$u=g(x)$,则 $y=f(g(x))$,根据链式法则,有:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$
将 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 带入上式,得到:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{df}{du}\cdot\frac{dg}{dx}$$
其中,$\frac{df}{du}$ 表示 $f(u)$ 对 $u$ 的导数,$\frac{dg}{dx}$ 表示 $g(x)$ 对 $x$ 的导数。
对于多元函数 $y=f(u_1,u_2,\cdots,u_m)$,$u_i=g_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)$,则有:
$$\frac{\partial y}{\partial x_j}=\sum_{i=1}^m\frac{\partial y}{\partial u_i}\cdot\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$
其中,$\frac{\partial y}{\partial u_i}$ 表示 $y$ 对 $u_i$ 的偏导数,$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$ 表示 $u_i$ 对 $x_j$ 的偏导数。
相关问题
复合函数求导法则推导过程
假设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是可导的函数,$y=f(u)$,其中 $u=g(x)$,则 $y$ 是 $x$ 的复合函数。我们要求解 $y$ 对 $x$ 的导数 $\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则,$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$。
现在我们来分别求解 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$。
1. 求解 $\frac{dy}{du}$
根据导数的定义,$\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{\Delta y}{\Delta u}$。
当 $\Delta u\to0$ 时,$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)$。
将 $u+\Delta u$ 代入 $y=f(u)$,得到 $y=f(u+\Delta u)$。
因此,$\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=y(u+\Delta u)-y(u)$。
将 $\Delta y$ 代入导数的定义中,得到:
$$
\frac{dy}{du}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}
$$
2. 求解 $\frac{du}{dx}$
同理,$\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta u}{\Delta x}$。
当 $\Delta x\to0$ 时,$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$。
将 $\Delta u$ 代入 $u=g(x)$,得到 $u=g(x+\Delta x)$。
因此,$\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)=u(x+\Delta x)-u(x)$。
将 $\Delta u$ 代入导数的定义中,得到:
$$
\frac{du}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$
3. 求解 $\frac{dy}{dx}$
将 $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 代入 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$,得到:
$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}
$$
因为 $u=g(x)$,所以:
$$
\lim_{\Delta x\to0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}=\frac{du}{dx}
$$
因此,上式可以简化为:
$$
\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta u\to0}\frac{y(u+\Delta u)-y(u)}{\Delta u}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}
$$
这就是复合函数求导法则的推导过程。
matlab多元复合函数求导的链式法则
对于多元复合函数的求导,可以使用链式法则来进行求解。链式法则是一种用于计算复合函数导数的方法,它可以将复合函数的导数分解为多个简单函数的导数的乘积。
假设有一个多元复合函数 z = f(g(x, y)), 其中 g(x, y) 是一个二元函数,f(u) 是一个一元函数。我们想要求解 z 对于变量 x 的偏导数 (∂z/∂x)。
根据链式法则,我们可以将求导过程分为两步:
1. 求解 z 对于中间变量 u 的偏导数 (∂z/∂u)。2. 求解 u 对于变量 x 的偏导数 (∂u/∂x)。
首先,求解 z 对于 u 的偏导数 (∂z/∂u) 可以使用一元函数的求导规则进行计算。
然后,求解 u 对于 x 的偏导数 (∂u/∂x) 可以使用二元函数的偏导数规则进行计算。
最后,将两个结果相乘即可得到 z 对于 x 的偏导数 (∂z/∂x)。
以上就是使用链式法则计算多元复合函数求导的步骤。在 MATLAB 中,可以使用符号计算工具箱中的 diff 函数来进行求导计算。