带卷积核的高斯滤波原理

### 高斯滤波的工作原理

在图像处理领域，高斯模糊是一种广泛应用的技术，用于减少图像中的噪声并降低细节层次。通过去除高频成分（如噪点和边缘），可以实现平滑效果[^1]。

#### 卷积操作基础

卷积操作是数字信号处理的核心概念之一，在二维空间内表现为矩阵运算。对于给定大小的输入图像I(x,y)，以及尺寸较小的核K(i,j)，两者之间的离散卷积定义如下：

\[ (I * K)(x, y) = \sum_{i=-a}^{a}\sum_{j=-b}^{b}{I(x-i, y-j)\cdot K(i,j)} \]

其中\( a=\frac{w_k-1}{2}, b=\frac{h_k-1}{2} \), \( w_k,h_k \)分别是卷积核宽度与高度的一半减一。

#### 高斯分布函数

高斯滤波器基于正态分布构建其权重系数。在一维情况下，该概率密度函数表达式为:

\[ g(x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }\sigma }e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}} \]

推广到二维形式，则有：

\[ G(x,y;\sigma_x,\sigma_y)=\frac {1}{2\pi \sigma _{x}\sigma _{y}} e^{-({\frac {{x'}^{2}}{{2\sigma _{x}}^{2}}}+{\frac {{y'}^{2}}{{2\sigma _{y}}^{2}}})} \]

这里\( x',y' \)表示相对于中心位置偏移量；而标准差参数决定了曲线形状——较大的σ意味着更宽广的影响范围，反之则更加集中于局部区域。

#### 构建高斯模板

为了方便计算，通常会预先设定好固定大小的方形窗口作为近似值，并按照上述公式填充相应数值构成最终使用的卷积核。例如一个简单的3×3高斯核可能是这样的：

| 0.0625 | 0.125 | 0.0625 |
|--------|-------|--------|
| 0.125 | 0.25 | 0.125 |
| 0.0625 | 0.125 | 0.0625 |

此表展示了各元素对应的位置及其对应的权值比例关系。

import numpy as np
from scipy import ndimage
import matplotlib.pyplot as plt

def show_images(image_list):
    fig, axes = plt.subplots(1, len(image_list))
    
    for idx, img in enumerate(image_list):
        ax = axes[idx]
        ax.imshow(img, cmap='gray')
        ax.axis('off')

original_image = ... # 加载原始图片数据
gaussian_filtered_image = ndimage.gaussian_filter(original_image, sigma=1)

show_images([original_image, gaussian_filtered_image])
plt.show()

这段Python代码片段演示了如何利用SciPy库执行高斯滤波过程，并展示原图与其经过处理后的对比结果。