最速下降法求解线性方程组matlabchengxu

以下是使用最速下降法（Steepest Descent Method）求解线性方程组的 MATLAB 程序示例：

function [x, k] = steepest_descent_method(A, b, x0, tol, max_iter)
% 最速下降法求解线性方程组 Ax = b
% A: 系数矩阵
% b: 常数向量
% x0: 初始解向量
% tol: 容差
% max_iter: 最大迭代次数
% x: 方程组的数值解
% k: 实际迭代次数

% 判断 A 是否为对称正定矩阵
if ~isequal(A, A')
    error('系数矩阵 A 不是对称矩阵！');
end
if any(eig(A) <= 0)
    error('系数矩阵 A 不是正定矩阵！');
end

% 初始化
x = x0;
r = b - A * x;
k = 0;

% 迭代求解
while norm(r) > tol && k < max_iter
    alpha = (r' * r) / (r' * A * r); % 最速下降法的步长
    x = x + alpha * r;
    r = b - A * x;
    k = k + 1;
end
if k == max_iter
    warning('达到最大迭代次数，可能未收敛！');
end

使用示例：

% 定义线性方程组的系数矩阵和常数向量
A = [4, -1, 0; -1, 4, -1; 0, -1, 4];
b = [1; 1; 1];

% 初始解向量、容差和最大迭代次数
x0 = [0; 0; 0];
tol = 1e-6;
max_iter = 1000;

% 调用最速下降法求解
[x, k] = steepest_descent_method(A, b, x0, tol, max_iter);

% 显示结果
disp(['迭代次数：', num2str(k)]);
disp(['数值解：']);
disp(x);

注意：最速下降法可能会出现收敛缓慢的情况，需要根据实际情况选择合适的迭代算法。