常系数非齐次线性微分方程求特解

对于常系数非齐次线性微分方程:

$$y''+ay'+by=f(x)$$

其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。我们可以先求出它对应的齐次方程的通解，然后再求出一个特解。

对应的齐次方程为：

$$y''+ay'+by=0$$

它的特征方程是：

$$r^2+ar+b=0$$

解这个方程得到两个根$r_1$和$r_2$，如果它们是不同的实数，那么齐次方程的通解为：

$$y_c=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$$

如果根为复数，我们可以将其表示为：

$$r=\alpha\pm\beta i$$

其中$\alpha$和$\beta$均为实数。此时齐次方程的通解为：

$$y_c=e^{\alpha x}\left(c_1\cos(\beta x)+c_2\sin(\beta x)\right)$$

接下来，我们需要求出一个特解。如果$f(x)$是多项式，我们可以猜测一个与$f(x)$同次数的多项式作为特解。如果$f(x)$是$e^{ax}$的形式，我们可以猜测一个形如$Ce^{ax}$的特解。

如果$f(x)$是三角函数的和或积，我们可以猜测一个与$f(x)$相同种类的函数，并将其代入方程，再利用待定系数法求出相应的系数。

最后，将齐次方程的通解和特解相加，就可以得到非齐次方程的通解了。