f(x)=xlnx, x∈R++，求函数f的共轭函数f*(y)。

首先，我们需要求出f(x)的导函数：

f'(x) = ln(x) + 1

然后，我们可以根据共轭函数的定义式来求解：

f*(y) = max{x*y - f(x)}

要求得f*(y)，我们需要对f(x)求最大值，也就是对f'(x)求零点，得到x=e^-1。

因此，

f*(y) = y - e^-1

最终得到函数f的共轭函数为f*(y) = y - e^-1。

相关问题

f ( x )= xlnx , x∈R ++,求函数 f 的共轭函数 f *( y )

我们可以使用共轭函数的定义来求解：

f*(y) = sup{x*y - f(x)}

其中，sup表示上确界。我们对这个式子进行变形：

x*y - f(x) = x*y - xlnx = x(y - ln(x))

令x(y - ln(x)) = t，则x = e^(W(t))，其中W(t)表示Lambert W函数，满足t = W(t)e^(W(t))。

我们将x代入原式得：

x*y - f(x) = e^(W(t))(y - W(t) - 1)

注意到W(t)是单调递增的，因此当t >= -1/e时，有W(t) >= -1。因此，当y >= W(t) + 1时，有e^(W(t))(y - W(t) - 1) >= 0；当y < W(t) + 1时，有e^(W(t))(y - W(t) - 1) < 0。因此，当y < W(t) + 1时，sup{x*y - f(x)} = 0；当y >= W(t) + 1时，sup{x*y - f(x)} = e^(W(t))(y - W(t) - 1)。

综上所述，f*(y)的表达式为：

f*(y) =
{
0, y < -1
e^(W(t))(y - W(t) - 1), -1 <= y < W(t) + 1
+∞, y >= W(t) + 1
}

其中t = y/e。