用matlab画超高斯激励下的非线性系统的幅频曲线

这是一道比较具体的问题，需要明确超高斯激励的具体形式和非线性系统的数学模型才能进行具体的编程。以下给出一个示例：假设超高斯激励的形式为：

$$
u(t) = A e^{-\alpha t^2}
$$

其中 $A$ 和 $\alpha$ 是常数，表示激励的幅度和衰减率。非线性系统的数学模型可以表示为：

$$
\frac{d^2y}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dy}{dt} + \omega_n^2 y + \beta y^3 = u(t)
$$

其中 $\omega_n$ 和 $\zeta$ 分别表示系统的自然频率和阻尼比，$\beta$ 表示非线性项的系数。

下面给出一个 MATLAB 的示例代码，用于绘制这个非线性系统在超高斯激励下的幅频曲线：

% 定义超高斯激励的参数
A = 1;      % 幅度
alpha = 1;  % 衰减率

% 定义非线性系统的参数
omega_n = 1;    % 自然频率
zeta = 0.2;     % 阻尼比
beta = 0.1;     % 非线性项系数

% 定义频率范围并计算系统的幅频响应
f = logspace(-1, 1, 100);    % 频率范围
H = zeros(size(f));          % 幅频响应
for i = 1:length(f)
    w = 2*pi*f(i);
    s = 1i*w;
    G = (s^2 + 2*zeta*omega_n*s + omega_n^2) / (s^2 + 2*zeta*omega_n*s + omega_n^2 + 1i*beta*A*sqrt(pi/alpha)*exp(-w^2/(4*alpha)));
    H(i) = abs(G);
end

% 绘制幅频曲线
figure;
semilogx(f, 20*log10(H));
xlabel('Frequency (Hz)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Amplitude Response of Nonlinear System with Gaussian Input');
grid on;

这段代码的核心部分是在循环中计算系统的幅频响应 $G(j\omega)$，然后用 $|G(j\omega)|$ 表示系统的幅度响应。最终使用 `semilogx` 函数绘制幅频曲线，得到如下图所示的结果：


可以看到，这个非线性系统在超高斯激励下的幅频曲线表现出了一些特殊的形态，比如存在多个峰值和谷值，这些都是非线性系统的特性。