如何使用数学方法和逻辑推理求解人民币硬币组合问题，并确保每种硬币至少有一枚？

在解决人民币硬币组合问题时，数学方法和逻辑推理是关键。为了确保每种硬币至少有一枚，我们可以设定初始条件x≥1, y≥1, z≥1，然后通过数学建模和逻辑推理来求解。我们将使用线性方程组的解法来寻找所有可能的硬币组合，满足总金额为150分且硬币总数为100枚的条件。

参考资源链接：[人民币兑换方式探究：一元五角换硬币](https://wenku.csdn.net/doc/4y6835c3z5?spm=1055.2569.3001.10343)

根据问题描述，我们可以建立两个方程来代表问题的约束条件：
1. 5x + 2y + z = 150（总金额方程）
2. x + y + z = 100（硬币总数方程）
我们可以先通过第二个方程解出z，得到z = 100 - x - y，然后将其代入第一个方程：
5x + 2y + (100 - x - y) = 150
4x + y = 50
此时，我们可以通过枚举x和y的值（考虑到每种硬币至少一枚的条件），找到所有满足上述方程的整数解。为了简化枚举，我们可以确定x的最大值为29（因为x的最大值应该使得4x+1仍然小于等于50），y的最大值为48（同理，y的最大值应该使得2y+1仍然小于等于50）。通过枚举这些值，我们可以找到所有可能的x和y组合，进而计算出z的值。
这种方法不仅逻辑清晰，而且能够确保我们在有限的时间内找到所有可能的硬币组合。对于更复杂或者类似的数学问题，也可以采用类似的建模和枚举方法进行求解。

参考资源链接：[人民币兑换方式探究：一元五角换硬币](https://wenku.csdn.net/doc/4y6835c3z5?spm=1055.2569.3001.10343)