用matlab实现householderQR分解

以下是使用MATLAB实现Householder QR分解的示例代码：

function [Q,R] = householderQR(A)
% Householder QR分解
% 输入矩阵A，输出Q和R
% Q是正交矩阵，R是上三角矩阵

[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
R = A;

for k = 1:n
% 计算Householder变换矩阵
v = zeros(m,1);
v(k:m) = R(k:m,k);
if v(k) >= 0
v(k) = v(k) + norm(v);
else
v(k) = v(k) - norm(v);
end
v = v / norm(v);
H = eye(m) - 2*v*v';

% 对R应用Householder变换
R(k:m,k:n) = H * R(k:m,k:n);

% 对Q应用Householder变换
Q(k:m,:) = H * Q(k:m,:);
end

end

% 示例
A = rand(5,3);
[Q,R] = householderQR(A);
Q*R % 验证QR分解是否正确

相关问题

householderQR分解matlab代码

以下是 MATLAB 中进行 Householder QR 分解的代码：

function [Q,R] = myHouseholderQR(A)
% Householder QR分解函数，输入矩阵A，输出Q、R两个矩阵
[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
for k = 1:n
    x = A(k:m,k);
    e = zeros(m-k+1,1);
    e(1) = 1;
    v = sign(x(1))*norm(x)*e + x;
    v = v/norm(v);
    A(k:m,k:n) = A(k:m,k:n) - 2*v*(v'*A(k:m,k:n));
    Q(k:m,:) = Q(k:m,:) - 2*v*(v'*Q(k:m,:));
end
R = triu(A);

与 QR 分解类似，Householder QR 分解也是通过施密特正交化的方法实现的。但是，与 QR 分解不同，Householder QR 分解是通过使用 Householder 变换来实现正交化的。具体来说，对于每一列，我们会找到一个 Householder 投影，将这一列变成一个向量的倍数，然后在对这个向量进行正交化。这个变换可以写成一个矩阵形式，我们将所有的 Householder 投影矩阵相乘，得到正交矩阵 Q。而 R 矩阵则是通过将 A 矩阵进行变换得到的上三角矩阵。

HouseholderQR分解求解解Tikhonov正则化最小二乘matlab程序

以下是使用Householder QR分解求解Tikhonov正则化最小二乘问题的MATLAB程序示例：

function x = tikhonov_ls(A, b, alpha)
% 使用Householder QR分解求解Tikhonov正则化最小二乘问题
% 输入参数：
% A: m x n 系数矩阵
% b: m x 1 右侧向量
% alpha: 正则化参数
% 输出参数：
% x: n x 1 最小二乘解

[m, n] = size(A);
R = [A; alpha * eye(n)];
Q = eye(m+n);

% Householder QR分解
for i = 1:n
    x = R(i:m+i-1, i);
    v = sign(x(1)) * norm(x) * eye(length(x),1) + x;
    v = v / norm(v);
    R(i:m+i-1, i:n) = R(i:m+i-1, i:n) - 2 * v * (v' * R(i:m+i-1, i:n));
    Q(i:m+n, i:m+n) = Q(i:m+n, i:m+n) - 2 * (Q(i:m+n, i:m+n) * v) * v';
end

% 解方程
Q1 = Q(:,1:n);
R1 = R(1:n,:);
y = Q1' * b;
x = R1 \ y;

使用该函数，可以解决形如以下的Tikhonov正则化最小二乘问题：

$$
\min_{x}\|Ax-b\|_2^2+\alpha\|x\|_2^2
$$

其中，$A$是$m\times n$的系数矩阵，$b$是$m\times 1$的右侧向量，$\alpha$是正则化参数。