已知f1(n)=O(g1(n)),f2(n)=O(g2(n)). 证明f1(n)+f2(n)=O(g1(n)-g2(n)).

首先，根据大O符号的定义，对于足够大的n，存在一个正常数c1，使得f1(n) <= c1 * g1(n)。同样地，存在一个正常数c2，使得f2(n) <= c2 * g2(n)。

因此，f1(n) + f2(n) <= c1 * g1(n) + c2 * g2(n)。

我们可以通过以下方式来证明f1(n) + f2(n) = O(g1(n) - g2(n))：

f1(n) + f2(n) <= c1 * g1(n) + c2 * g2(n)
<= c1 * g1(n) - c2 * g2(n) + 2c2 * g2(n)
<= (c1 + 2c2) * (g1(n) - g2(n))

因此，我们可以选择c = c1 + 2c2，并且对于足够大的n，f1(n) + f2(n) <= c * (g1(n) - g2(n))。因此，我们得到f1(n) + f2(n) = O(g1(n) - g2(n))。

相关问题

已知f1(n)=O(g1(n))，f2(n)=O(g2(n))

可以得出以下结论：

1. f1(n) + f2(n) = O(max(g1(n), g2(n)))。因为 f1(n) 和 f2(n) 都是 O(g1(n)) 和 O(g2(n))，所以它们的和是 O(g1(n) + g2(n))。由于 O(g1(n) + g2(n)) <= O(max(g1(n), g2(n)))，所以可以得出 f1(n) + f2(n) = O(max(g1(n), g2(n)))。

2. f1(n) * f2(n) = O(g1(n) * g2(n))。由于 f1(n) 是 O(g1(n))，f2(n) 是 O(g2(n))，所以它们的乘积是 O(g1(n) * g2(n))。

这些结论可以通过使用定义来证明。

z1=y1/(y1+y2+y3) z2=y2/(y1+y2+y3) z3=y3/(y1+y2+y3) 已知z1和z2和z3， 且上述方程已知数和未知数均是大于0的正值，求y1，y2，y3。 请问，怎么在C++代码用牛顿迭代法实现求解？

可以使用牛顿迭代法进行求解，步骤如下：

1. 定义目标函数f(y1, y2, y3) = [z1 - y1/(y1+y2+y3)]^2 + [z2 - y2/(y1+y2+y3)]^2 + [z3 - y3/(y1+y2+y3)]^2，目标是使得f(y1, y2, y3)最小。
2. 求解f(y1, y2, y3)的梯度向量g(y1, y2, y3)，以及Hessian矩阵H(y1, y2, y3)。
3. 初始化y1, y2, y3为任意正数，然后进行迭代。在每次迭代中，计算g(y1, y2, y3)和H(y1, y2, y3)，然后计算方程H(y1, y2, y3) * delta = -g(y1, y2, y3)的解delta，更新y1, y2, y3为y1+delta[0], y2+delta[1], y3+delta[2]。
4. 重复第3步，直到f(y1, y2, y3)收敛到足够小的值。

以下是使用牛顿迭代法求解的示例代码：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double f(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    double f1 = z1 - y1 / denom;
    double f2 = z2 - y2 / denom;
    double f3 = z3 - y3 / denom;
    return f1 * f1 + f2 * f2 + f3 * f3;
}

void g(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3, double& g1, double& g2, double& g3) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    g1 = -2 * (z1 - y1 / denom) / denom + 2 * y1 / (denom * denom);
    g2 = -2 * (z2 - y2 / denom) / denom + 2 * y2 / (denom * denom);
    g3 = -2 * (z3 - y3 / denom) / denom + 2 * y3 / (denom * denom);
}

void H(double y1, double y2, double y3, double z1, double z2, double z3, double& h11, double& h12, double& h13,
    double& h21, double& h22, double& h23, double& h31, double& h32, double& h33) {
    double denom = y1 + y2 + y3;
    double denom2 = denom * denom;
    h11 = 2 * (2 * y1 * y1 - 2 * z1 * y1 + y2 * y2 + y3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y1 / (denom2 * denom2);
    h12 = 2 * y1 * y2 / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y2 / (denom2 * denom2);
    h13 = 2 * y1 * y3 / (denom2 * denom) - 2 * y1 * y3 / (denom2 * denom2);
    h21 = h12;
    h22 = 2 * (y1 * y1 + 2 * y2 * y2 - 2 * z2 * y2 + y3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y2 * y2 / (denom2 * denom2);
    h23 = 2 * y2 * y3 / (denom2 * denom) - 2 * y2 * y3 / (denom2 * denom2);
    h31 = h13;
    h32 = h23;
    h33 = 2 * (y1 * y1 + y2 * y2 + 2 * y3 * y3 - 2 * z3 * y3) / (denom2 * denom) - 2 * y3 * y3 / (denom2 * denom2);
}

int main() {
    double z1 = 0.3;
    double z2 = 0.4;
    double z3 = 0.3;

    double y1 = 1.0;
    double y2 = 1.0;
    double y3 = 1.0;

    double eps = 1e-6;
    int max_iter = 1000;
    int iter = 0;

    double g1, g2, g3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33;
    double delta1, delta2, delta3;

    do {
        g(y1, y2, y3, z1, z2, z3, g1, g2, g3);
        H(y1, y2, y3, z1, z2, z3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33);

        double det = h11 * h22 * h33 + h12 * h23 * h31 + h21 * h32 * h13
            - h13 * h22 * h31 - h12 * h21 * h33 - h11 * h23 * h32;

        delta1 = (-h23 * h32 * g1 + h22 * h33 * g2 - h22 * h33 * g3) / det;
        delta2 = (h13 * h32 * g1 - h12 * h33 * g2 + h12 * h33 * g3) / det;
        delta3 = (-h13 * h22 * g1 + h12 * h23 * g2 - h12 * h23 * g3) / det;

        y1 += delta1;
        y2 += delta2;
        y3 += delta3;

        iter++;
    } while (iter < max_iter && sqrt(g1 * g1 + g2 * g2 + g3 * g3) > eps);

    std::cout << "y1 = " << y1 << std::endl;
    std::cout << "y2 = " << y2 << std::endl;
    std::cout << "y3 = " << y3 << std::endl;

    return 0;
}

在每次迭代中，使用g(y1, y2, y3, z1, z2, z3, g1, g2, g3)计算梯度向量g(y1, y2, y3)，使用H(y1, y2, y3, z1, z2, z3, h11, h12, h13, h21, h22, h23, h31, h32, h33)计算Hessian矩阵H(y1, y2, y3)。然后使用牛顿迭代公式delta = -H^{-1}g更新y1, y2, y3的值。重复这个过程，直到收敛到足够小的值。