多项式乘法随机化验证，请给出cpp源码，举例

多项式乘法的随机化验证通常用于简化计算过程并验证结果的正确性，特别是在大规模多项式相乘时。这种方法利用了快速傅里叶变换（FFT）的性质，通过随机抽样部分系数来进行校验，而不是直接计算全部系数。

在C++中，我们可以使用`<complex>`库来做复数运算，并利用`<random>`库生成随机数。以下是简单的例子，展示了如何对两个多项式的点积进行随机化验证：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <complex>
#include <random>

// 随机数生成器
std::mt19937 gen(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count());

// 计算多项式乘积
std::vector<std::complex<double>> polynomialMultiply(const std::vector<std::complex<double>>& a, const std::vector<std::complex<double>>& b) {
    int n = std::max(a.size(), b.size());
    std::vector<std::complex<double>> result(n);
    // ... (实现多项式乘法)
    return result;
}

// 验证乘积的某个点
void checkRandomPoint(const std::vector<std::complex<double>>& product, const std::vector<std::complex<double>>& a, const std::vector<std::complex<double>>& b, double x) {
    int index_a = rand() % a.size();
    int index_b = rand() % b.size();
    std::complex<double> expected = a[index_a] * b[index_b];
    std::complex<double> actual = product[index_a + index_b];
    if (std::abs(expected - actual) > 1e-6) {
        std::cerr << "Random point check failed! Expected: " << expected << ", Actual: " << actual << std::endl;
    } else {
        std::cout << "Random point check passed." << std::endl;
    }
}

int main() {
    std::vector<std::complex<double>> a = {1, 2, 3};
    std::vector<std::complex<double>> b = {4, 5, 6};

    std::vector<std::complex<double>> product = polynomialMultiply(a, b);

    double random_x = static_cast<double>(gen()) / RAND_MAX;  // 生成[0, 1)范围内的随机数
    checkRandomPoint(product, a, b, random_x);

    return 0;
}

在这个示例中，我们首先计算了两个多项式`a`和`b`的乘积，然后随机选择一个`x`值，检查该点的预期结果是否与实际结果相符。如果它们非常接近，则认为验证通过。