伴随矩阵与逆矩阵性质证明

伴随矩阵和逆矩阵是线性代数中重要的概念，它们具有许多性质和重要公式。以下是伴随矩阵和逆矩阵的性质证明：

1. 若矩阵A可逆，则A的逆矩阵为：
$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A) $$
其中$adj(A)$为A的伴随矩阵，$|A|$为A的行列式。

证明：由伴随矩阵的定义可知，$A\cdot adj(A)=|A|\cdot I_n$，其中$I_n$为n阶单位矩阵。两边同时除以$|A|$可得：
$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A\cdot adj(A)=adj(A) $$
因此，当矩阵A可逆时，有$A^{-1}=adj(A)/|A|$。

2. 若矩阵A可逆，则$(adj(A))^{-1}=1/|A|\cdot A$。

证明：由伴随矩阵的定义可知，$A\cdot adj(A)=|A|\cdot I_n$，两边同时取行列式可得：
$$ |A|\cdot |adj(A)|=|A|^n $$
因为A可逆且$|A|\neq 0$，所以有$|A|\cdot |A^{-1}|=1$。因此，上式可化为：
$$ |adj(A)|=|A|^{n-1} $$
两边同时除以$|adj(A)|$可得：
$$ (adj(A))^{-1}=\frac{1}{|A|^{n-1}}adj(A) $$
因为$|A|=1/|A^{-1}|$，所以上式可化为：
$$ (adj(A))^{-1}=\frac{1}{|A|}\cdot A $$
因此，当矩阵A可逆时，有$(adj(A))^{-1}=1/|A|\cdot A$。

3. 若矩阵A可逆，则$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$。

证明：对于任意向量b，有：
$$ A^{-1}A\cdot b=b $$
两边同时取转置可得：
$$ b^T(A^{-1}A)^T=b^T $$
因为$(A^{-1}A)^T=I_n^T=I_n$，所以：
$$ b^T\cdot A^T(A^{-1})^T=b^T $$
因此，$(A^{-1})^T$是$A^T$的逆矩阵，即$(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$。